Математический анализ Примеры

$\frac{x}{x^{2} - x + 25}$

Этап 1

Запишем $\frac{x}{x^{2} - x + 25}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 25}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - x + 25$ .

$\frac{(x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Умножим $x^{2} - x + 25$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} - x + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.2.8

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.2.9

Добавим $2 x - 1$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.3.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.3.2.2.2

Добавим $x^{2} + 25 - 2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.3.2.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 2.3.3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = x$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} \frac{d}{d x} ((5 + x) (5 - x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{({(x^{2} - x + 25)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - x + 25)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} \frac{d}{d x} ((5 + x) (5 - x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} \frac{d}{d x} ((5 + x) (5 - x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 5 + x$ и $g (x) = 5 - x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) \frac{d}{d x} (5 - x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $5 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x)) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (- 1 \cdot 1) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) \cdot - 1 + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $5 + x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- 1 \cdot (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.6.3

Перепишем $- 1 (5 + x)$ в виде $- (5 + x)$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.7

По правилу суммы производная $5 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (x))) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.8

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) (0 + \frac{d}{d x} (x))) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) \cdot 1) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.11

Умножим $5 - x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - x + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - x + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - x + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) (2 (x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $x^{2} - x + 25$ из ${(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вынесем множитель $x^{2} - x + 25$ из ${(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x)) - 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.6.2.2

Вынесем множитель $x^{2} - x + 25$ из $- 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x)) + (x^{2} - x + 25) (- 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.6.2.3

Вынесем множитель $x^{2} - x + 25$ из $(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x)) + (x^{2} - x + 25) (- 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Этап 3.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $x^{2} - x + 25$ из ${(x^{2} - x + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{(x^{2} - x + 25) {(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.7.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{(x^{2} - x + 25) {(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.7.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.8

По правилу суммы производная $x^{2} - x + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.13

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.14

Добавим $2 x - 1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 1 \cdot 5 - x + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 1 \cdot 5 - x + 5 - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 5 - x + 5 - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.2

Объединим противоположные члены в $- 5 - x + 5 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.2.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- x + 0 - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.2.2

Добавим $- x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- x - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.3

Вычтем $x$ из $- x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 x) - x (- 2 x) + 25 (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} x - x (- 2 x) + 25 (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} x - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) + 25 (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.5.3

Умножим $- 2$ на $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} x - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.6.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.6.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.6.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.6.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 2} - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.6.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.6.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.6.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (- 2 x^{2}) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.6.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.7

Умножим $- 2$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.8

Развернем $(- 10 - 2 x) (5 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 (5 - x) - 2 x (5 - x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 \cdot 5 - 10 (- x) - 2 x (5 - x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 \cdot 5 - 10 (- x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.9.1.1

Умножим $- 10$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 - 10 (- x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.9.1.2

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 2 x \cdot 5 - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.9.1.3

Умножим $5$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.9.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 \cdot (- 1 x \cdot x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.9.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.9.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.9.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 \cdot (- 1 x^{2})) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.9.1.6

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x + 2 x^{2}) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.9.2

Вычтем $10 x$ из $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 0 + 2 x^{2}) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.9.3

Добавим $- 50$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 2 x^{2}) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.10

Развернем $(- 50 + 2 x^{2}) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 (2 x - 1) + 2 x^{2} (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 (2 x) - 50 \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 (2 x) - 50 \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.11.1

Умножим $2$ на $- 50$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x - 50 \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.11.2

Умножим $- 50$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.11.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.11.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.11.4.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.11.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.1.11.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.11.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.11.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.11.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.1.11.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.2

Объединим противоположные члены в $- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} - 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.3.2.1

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.2.2

Добавим $- 2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3}}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.3

Добавим $- 2 x^{3}$ и $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.3.4

Вычтем $100 x$ из $- 50 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 150 x + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} - 150 x + 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3}) - 150 x + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 150 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3}) + 2 (- 75 x) + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.4.3

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 (- 75 x) + 2 \cdot 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 2 (- 75 x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 75 x) + 2 \cdot 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 3.15.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} - 75 x) + 2 \cdot 25$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 75 x + 25)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$\frac{(x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $x^{2} - x + 25$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} - x + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2.8

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2.9

Добавим $2 x - 1$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3.2.1.4

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3.2.1.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.2.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3.2.2.2

Добавим $x^{2} + 25 - 2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3.2.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3.3.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3.3.3

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$(5 + x) (5 - x) = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Этап 6.3.2

Приравняем $5 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Приравняем $5 + x$ к $0$ .

$5 + x = 0$

Этап 6.3.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 6.3.3

Приравняем $5 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Приравняем $5 - x$ к $0$ .

$5 - x = 0$

Этап 6.3.3.2

Решим $5 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 5$

Этап 6.3.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x = 5$

Этап 6.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 + x) (5 - x) = 0$ верно.

$x = - 5, 5$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 5, 5$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2 ({(- 5)}^{3} - 75 \cdot - 5 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$\frac{2 (- 125 - 75 \cdot - 5 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Этап 10.1.2

Умножим $- 75$ на $- 5$ .

$\frac{2 (- 125 + 375 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Этап 10.1.3

Добавим $- 125$ и $375$ .

$\frac{2 (250 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Этап 10.1.4

Добавим $250$ и $25$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{(25 - (- 5) + 25)}^{3}}$

Этап 10.2.2

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{(25 + 5 + 25)}^{3}}$

Этап 10.2.3

Добавим $25$ и $5$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{(30 + 25)}^{3}}$

Этап 10.2.4

Добавим $30$ и $25$ .

$\frac{2 \cdot 275}{55^{3}}$

Этап 10.2.5

Возведем $55$ в степень $3$ .

$\frac{2 \cdot 275}{166375}$

Этап 10.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $2$ на $275$ .

$\frac{550}{166375}$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель $550$ и $166375$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вынесем множитель $275$ из $550$ .

$\frac{275 (2)}{166375}$

Этап 10.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Вынесем множитель $275$ из $166375$ .

$\frac{275 \cdot 2}{275 \cdot 605}$

Этап 10.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{275 \cdot 2}{275 \cdot 605}$

Этап 10.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{605}$

Этап 11

$x = - 5$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 5$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{{(- 5)}^{2} - (- 5) + 25}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 - (- 5) + 25}$

Этап 12.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 + 5 + 25}$

Этап 12.2.1.3

Добавим $25$ и $5$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{30 + 25}$

Этап 12.2.1.4

Добавим $30$ и $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{55}$

Этап 12.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ и $55$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{5 (- 1)}{55}$

Этап 12.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $55$ .

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}$

Этап 12.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}$

Этап 12.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 5) = \frac{- 1}{11}$

Этап 12.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 5) = - \frac{1}{11}$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{11}$ .

$y = - \frac{1}{11}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2 ({(5)}^{3} - 75 \cdot 5 + 25)}{{({(5)}^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{2 (125 - 75 \cdot 5 + 25)}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Этап 14.1.2

Умножим $- 75$ на $5$ .

$\frac{2 (125 - 375 + 25)}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Этап 14.1.3

Вычтем $375$ из $125$ .

$\frac{2 (- 250 + 25)}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Этап 14.1.4

Добавим $- 250$ и $25$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(25 - (5) + 25)}^{3}}$

Этап 14.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(25 - 5 + 25)}^{3}}$

Этап 14.2.3

Вычтем $5$ из $25$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(20 + 25)}^{3}}$

Этап 14.2.4

Добавим $20$ и $25$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{45^{3}}$

Этап 14.2.5

Возведем $45$ в степень $3$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{91125}$

Этап 14.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $2$ на $- 225$ .

$\frac{- 450}{91125}$

Этап 14.3.2

Сократим общий множитель $- 450$ и $91125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Вынесем множитель $225$ из $- 450$ .

$\frac{225 (- 2)}{91125}$

Этап 14.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1

Вынесем множитель $225$ из $91125$ .

$\frac{225 \cdot - 2}{225 \cdot 405}$

Этап 14.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{225 \cdot - 2}{225 \cdot 405}$

Этап 14.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{405}$

Этап 14.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{405}$

Этап 15

$x = 5$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 5$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \frac{5}{{(5)}^{2} - (5) + 25}$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Сократим общий множитель $5$ и ${(5)}^{2} - (5) + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5^{2} - (5) + 25}$

Этап 16.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5^{2}$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 - (5) + 25}$

Этап 16.2.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $- (5)$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1 + 25}$

Этап 16.2.1.2.3

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 25}$

Этап 16.2.1.2.4

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)}$

Этап 16.2.1.2.5

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}$

Этап 16.2.1.2.6

Сократим общий множитель.

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}$

Этап 16.2.1.2.7

Перепишем это выражение.

$f (5) = \frac{1}{5 - 1 + 5}$

Этап 16.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Вычтем $1$ из $5$ .

$f (5) = \frac{1}{4 + 5}$

Этап 16.2.2.2

Добавим $4$ и $5$ .

$f (5) = \frac{1}{9}$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{9}$ .

$y = \frac{1}{9}$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 25}$ .

$(- 5, - \frac{1}{11})$ — локальный минимум

$(5, \frac{1}{9})$ — локальный максимум

Этап 18