Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{(1 - \sin^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 3

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 4

Переведем $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ в $\cot^{2} (x)$ .

$\int \cot^{2} (x) d x$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\cot^{2} (x)$ в виде $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

Этап 8

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$- x + C - \cot (x) + C$

Этап 9

Упростим.

$- x - \cot (x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- x - \cot (x) + C$