Математический анализ Примеры

$z = u^{\frac{3}{2}} (u + c e^{u})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [f (c) g (c)]$ имеет вид $f (c) \frac{d}{d c} [g (c)] + g (c) \frac{d}{d c} [f (c)]$ , где $f (c) = u^{\frac{3}{2}}$ и $g (c) = u + c e^{u}$ .

$u^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d c} [u + c e^{u}] + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $u + c e^{u}$ по $c$ имеет вид $\frac{d}{d c} [u] + \frac{d}{d c} [c e^{u}]$ .

$u^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d c} [u] + \frac{d}{d c} [c e^{u}]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2

Поскольку $u$ является константой относительно $c$ , производная $u$ относительно $c$ равна $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d c} [c e^{u}]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d c} [c e^{u}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $e^{u}$ является константой относительно $c$ , производная $c e^{u}$ по $c$ равна $e^{u} \frac{d}{d c} [c]$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u} \frac{d}{d c} [c]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ имеет вид $n c^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u} \cdot 1) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3.3

Умножим $e^{u}$ на $1$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u}) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $0$ и $e^{u}$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Этап 4.2

Поскольку $u^{\frac{3}{2}}$ является константой относительно $c$ , производная $u^{\frac{3}{2}}$ относительно $c$ равна $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + (u + c e^{u}) \cdot 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + u \cdot 0 + c e^{u} \cdot 0$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $u$ на $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + c e^{u} \cdot 0$

Этап 5.2.2

Умножим $0$ на $c$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + 0 e^{u}$

Этап 5.2.3

Умножим $0$ на $e^{u}$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + 0$

Этап 5.2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0$

Этап 5.2.5

Добавим $u^{\frac{3}{2}} e^{u}$ и $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u}$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $u^{\frac{3}{2}} e^{u}$ .

$e^{u} u^{\frac{3}{2}}$