Математический анализ Примеры

$y = (4 x^{2} + 9) (2 x - 3 + \frac{7}{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x^{2} + 9$ и $g (x) = 2 x - 3 + \frac{7}{x}$ .

$(4 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [2 x - 3 + \frac{7}{x}] + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 2

По правилу суммы производная $2 x - 3 + \frac{7}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

$(4 x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{7}{x}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 5.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 (- x^{- 2})) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $7$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 - 7 x^{- 2}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 - 7 \frac{1}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $2$ и $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 - 7 \frac{1}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 6.2.2

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + \frac{- 7}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(4 x^{2} + 9) (2 - \frac{7}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Этап 7

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 8.3

Умножим $2$ на $4$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x + 0)$

Этап 9.2

Добавим $8 x$ и $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 2 x (8 x) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Этап 10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $8$ на $2$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x \cdot x - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Этап 10.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 (x^{1} x) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Этап 10.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 (x^{1} x^{1}) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Этап 10.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{1 + 1} - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Этап 10.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Этап 10.2.6

Умножим $8$ на $- 3$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{7}{x} (8 x)$

Этап 10.2.7

Объединим $8$ и $\frac{7}{x}$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{8 \cdot 7}{x} x$

Этап 10.2.8

Умножим $8$ на $7$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56}{x} x$

Этап 10.2.9

Объединим $\frac{56}{x}$ и $x$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56 x}{x}$

Этап 10.2.10

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.10.1

Сократим общий множитель.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56 x}{x}$

Этап 10.2.10.2

Разделим $56$ на $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + 56$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$16 x^{2} + (- \frac{7}{x^{2}} + 2) (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

Этап 10.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Развернем $(- \frac{7}{x^{2}} + 2) (4 x^{2} + 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2} + 9) + 2 (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

Этап 10.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

Этап 10.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Этап 10.4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{x^{2}}$ в числитель.

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Этап 10.4.2.1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} \cdot 4) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Этап 10.4.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} \cdot 4) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Этап 10.4.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$16 x^{2} - 7 \cdot 4 - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $- 7$ на $4$ .

$16 x^{2} - 28 - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Этап 10.4.2.1.3

Умножим $- \frac{7}{x^{2}} \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.3.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$16 x^{2} - 28 - 9 \frac{7}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Этап 10.4.2.1.3.2

Объединим $- 9$ и $\frac{7}{x^{2}}$ .

$16 x^{2} - 28 + \frac{- 9 \cdot 7}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Этап 10.4.2.1.3.3

Умножим $- 9$ на $7$ .

$16 x^{2} - 28 + \frac{- 63}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Этап 10.4.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Этап 10.4.2.1.5

Умножим $4$ на $2$ .

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Этап 10.4.2.1.6

Умножим $2$ на $9$ .

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} + 18 - 24 x + 56$

Этап 10.4.2.2

Добавим $- 28$ и $18$ .

$16 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} - 10 - 24 x + 56$

Этап 10.5

Добавим $16 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$24 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} - 10 - 24 x + 56$

Этап 10.6

Добавим $- 10$ и $56$ .

$24 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} - 24 x + 46$