Математический анализ Примеры

$y = x^{7} + x^{5} + 3$

Этап 1

Запишем $y = x^{7} + x^{5} + 3$ в виде функции.

$f (x) = x^{7} + x^{5} + 3$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{7} + x^{5} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$7 x^{6} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 x^{6} + 5 x^{4} + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $7 x^{6} + 5 x^{4}$ и $0$ .

$f' (x) = 7 x^{6} + 5 x^{4}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $7 x^{6} + 5 x^{4}$ .

$7 x^{6} + 5 x^{4}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $7 x^{6} + 5 x^{4} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$7 x^{6} + 5 x^{4} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $7 x^{6} + 5 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $7 x^{6}$ .

$x^{4} (7 x^{2}) + 5 x^{4} = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $5 x^{4}$ .

$x^{4} (7 x^{2}) + x^{4} \cdot 5 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} (7 x^{2}) + x^{4} \cdot 5$ .

$x^{4} (7 x^{2} + 5) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{4} = 0$

$7 x^{2} + 5 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x^{4}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x^{4}$ к $0$ .

$x^{4} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $x^{4} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Этап 3.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Этап 3.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $7 x^{2} + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $7 x^{2} + 5$ к $0$ .

$7 x^{2} + 5 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $7 x^{2} + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$7 x^{2} = - 5$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $7 x^{2} = - 5$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $7 x^{2} = - 5$ на $7$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{- 5}{7}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{- 5}{7}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{7}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{5}{7}$

Этап 3.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{5}{7}}$

Этап 3.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{5}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{5}{7}}$

Этап 3.5.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{5}{7}}$

Этап 3.5.2.4.3

Перепишем $\sqrt{\frac{5}{7}}$ в виде $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

Этап 3.5.2.4.4

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Этап 3.5.2.4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 3.5.2.4.5.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Этап 3.5.2.4.5.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Этап 3.5.2.4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 3.5.2.4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 3.5.2.4.5.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.5.2.4.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.5.2.4.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.2.4.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.2.4.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Этап 3.5.2.4.5.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7}$

Этап 3.5.2.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7}$

Этап 3.5.2.4.6.2

Умножим $5$ на $7$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{35}}{7}$

Этап 3.5.2.4.7

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{35}}{7}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{35}}{7}$

Этап 3.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{35}}{7}$

Этап 3.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{35}}{7}$

Этап 3.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{35}}{7}, - \frac{i \sqrt{35}}{7}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{4} (7 x^{2} + 5) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{i \sqrt{35}}{7}, - \frac{i \sqrt{35}}{7}$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = 7 x^{6} + 5 x^{4}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = x^{7} + x^{5} + 3$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 7 {(- 1)}^{6} + 5 {(- 1)}^{4}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$f' (- 1) = 7 \cdot 1 + 5 {(- 1)}^{4}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $7$ на $1$ .

$f' (- 1) = 7 + 5 {(- 1)}^{4}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f' (- 1) = 7 + 5 \cdot 1$

Этап 6.2.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (- 1) = 7 + 5$

Этап 6.2.2

Добавим $7$ и $5$ .

$f' (- 1) = 12$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $12$ .

$12$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $12$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 7 {(1)}^{6} + 5 {(1)}^{4}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 7 \cdot 1 + 5 {(1)}^{4}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $7$ на $1$ .

$f' (1) = 7 + 5 {(1)}^{4}$

Этап 7.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 7 + 5 \cdot 1$

Этап 7.2.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (1) = 7 + 5$

Этап 7.2.2

Добавим $7$ и $5$ .

$f' (1) = 12$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $12$ .

$12$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $12$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Этап 9