Математический анализ Примеры

$y = - 100 x^{- \frac{1}{4}}$

Этап 1

Запишем $y = - 100 x^{- \frac{1}{4}}$ в виде функции.

$f (x) = - 100 x^{- \frac{1}{4}}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $- 100$ является константой относительно $x$ , производная $- 100 x^{- \frac{1}{4}}$ по $x$ равна $- 100 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}]$ .

$- 100 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{4}$ .

$- 100 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

Этап 2.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- 100 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Этап 2.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$- 100 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 100 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 100 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Этап 2.1.6.2

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$- 100 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

Этап 2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 100 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

Этап 2.1.8

Объединим $x^{- \frac{5}{4}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- 100 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Этап 2.1.9

Умножим $- 1$ на $- 100$ .

$100 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Этап 2.1.10

Объединим $100$ и $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$\frac{100 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Этап 2.1.11

Перенесем $x^{- \frac{5}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{100}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.1.12

Вынесем множитель $4$ из $100$ .

$\frac{4 \cdot 25}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.1.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot 25}{4 (x^{\frac{5}{4}})}$

Этап 2.1.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 25}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.1.13.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{25}{x^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{25}{x^{\frac{5}{4}}}$ .

$\frac{25}{x^{\frac{5}{4}}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{25}{x^{\frac{5}{4}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{25}{x^{\frac{5}{4}}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$25 = 0$

Этап 3.3

Поскольку $25 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{25}{\sqrt[4]{x^{5}}}$

Этап 5.2

Зададим знаменатель в $\frac{25}{\sqrt[4]{x^{5}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[4]{x^{5}} = 0$

Этап 5.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${\sqrt[4]{x^{5}}}^{4} = 0^{4}$

Этап 5.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x^{5}}$ в виде $x^{\frac{5}{4}}$ .

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{5}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 5.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 5.3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{5} = 0^{4}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{5} = 0$

Этап 5.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[5]{0}$

Этап 5.3.3.2

Упростим $\sqrt[5]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{x^{5}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{5} < 0$

Этап 5.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[5]{x^{5}} < \sqrt[5]{0}$

Этап 5.5.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < \sqrt[5]{0}$

Этап 5.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Упростим $\sqrt[5]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$x < \sqrt[5]{0^{5}}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < 0$

Этап 5.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 6

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \frac{25}{x^{\frac{5}{4}}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = - 100 x^{- \frac{1}{4}}$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 7.2

Окончательный ответ: $\frac{25}{{(- 1)}^{\frac{5}{4}}}$ .

$\frac{25}{{(- 1)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 7.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $\frac{25}{{(- 1)}^{\frac{5}{4}}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{25}{{(1)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{25}{1}$

Этап 8.2.2

Разделим $25$ на $1$ .

$f' (1) = 25$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $25$ .

$25$

Этап 8.3

При $x = 1$ производная имеет вид $25$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 0)$

Этап 10