Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.2.1

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2.2

Добавим $2 x^{2} - x^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.3.3

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.3.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

Этап 4.1.2.1.2

Перепишем $- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ в виде $- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ .

$- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

Этап 4.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- (1 - 2 \cdot - 1 + 1)$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- (1 + 2 + 1)$

Этап 4.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Добавим $1$ и $2$ .

$- (3 + 1)$

Этап 4.1.2.3.2

Добавим $3$ и $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Этап 4.1.2.3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\frac{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{1}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим ${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ на $1$ .

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$

Этап 4.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 2 \cdot 1 + 1$

Этап 4.2.2.2.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$1 - 2 + 1$

Этап 4.2.2.3

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 1 + 1$

Этап 4.2.2.3.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$0$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{0}$

Этап 4.3.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(- 1, - 4), (1, 0)$

Этап 5