Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 3 + 8$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $3$ и $8$ .

$2 i^{2} - i + 11$

Этап 1.2

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11$

Этап 2

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $i$ было равно $1$ .

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = \sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 - \sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = 2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2} - 1 \sum_{k = 1}^{24} i + \sum_{k = 1}^{24} 11$

Этап 3.2

Найдем значение $2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.2.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(2) (\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6})$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Добавим $24$ и $1$ .

$2 \frac{24 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Этап 3.2.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Умножим $24$ на $25$ .

$2 \frac{600 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Этап 3.2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $24$ .

$2 \frac{600 (48 + 1)}{6}$

Этап 3.2.3.1.3

Добавим $48$ и $1$ .

$2 \frac{600 \cdot 49}{6}$

Этап 3.2.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Умножим $600$ на $49$ .

$2 (\frac{29400}{6})$

Этап 3.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \frac{29400}{2 (3)}$

Этап 3.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{29400}{2 \cdot 3}$

Этап 3.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{29400}{3}$

Этап 3.2.3.2.3

Разделим $29400$ на $3$ .

$9800$

Этап 3.3

Найдем значение $1 \sum_{k = 1}^{24} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 1) (\frac{24 (24 + 1)}{2})$

Этап 3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Добавим $24$ и $1$ .

$- 1 \frac{24 \cdot 25}{2}$

Этап 3.3.3.2

Умножим $24$ на $25$ .

$- 1 (\frac{600}{2})$

Этап 3.3.3.3

Разделим $600$ на $2$ .

$- 1 \cdot 300$

Этап 3.3.3.4

Умножим $- 1$ на $300$ .

$- 300$

Этап 3.4

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{24} 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3.4.2

Подставим значения в формулу.

$(11) (24)$

Этап 3.4.3

Умножим $11$ на $24$ .

$264$

Этап 3.5

Сложим результаты суммирования.

$9800 - 300 + 264$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вычтем $300$ из $9800$ .

$9500 + 264$

Этап 3.6.2

Добавим $9500$ и $264$ .

$9764$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$2 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $1$ в степень $2$ .

$2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 - 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.5

Добавим $1$ и $11$ .

$12 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$12 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.7

Умножим $2$ на $4$ .

$12 + 8 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$12 + 8 - 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.9

Вычтем $2$ из $8$ .

$12 + 6 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.10

Добавим $6$ и $11$ .

$12 + 17 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.11

Добавим $12$ и $17$ .

$29 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.12

Возведем $3$ в степень $2$ .

$29 + 2 \cdot 9 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.13

Умножим $2$ на $9$ .

$29 + 18 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.14

Умножим $- 1$ на $3$ .

$29 + 18 - 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.15

Вычтем $3$ из $18$ .

$29 + 15 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.16

Добавим $15$ и $11$ .

$29 + 26 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.17

Добавим $29$ и $26$ .

$55 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.18

Возведем $4$ в степень $2$ .

$55 + 2 \cdot 16 - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.19

Умножим $2$ на $16$ .

$55 + 32 - 1 \cdot 4 + 11$

Этап 4.2.20

Умножим $- 1$ на $4$ .

$55 + 32 - 4 + 11$

Этап 4.2.21

Вычтем $4$ из $32$ .

$55 + 28 + 11$

Этап 4.2.22

Добавим $28$ и $11$ .

$55 + 39$

Этап 4.2.23

Добавим $55$ и $39$ .

$94$

Этап 5

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$9764 - 94$

Этап 6

Вычтем $94$ из $9764$ .

$9670$