Математический анализ Примеры

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Этап 1

Запишем $\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 9$ и $g (x) = x^{2} - 81$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x + 9] - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4.2

Умножим $x^{2} - 81$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 81$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.7

Поскольку $- 81$ является константой относительно $x$ , производная $- 81$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x + 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 81 + (- 2 x - 2 \cdot 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.2

Умножим $- 2$ на $9$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 81 - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} - 18 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ , а сумма — $b = - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1.1

Вынесем множитель $- 18$ из $- 18 x$ .

$\frac{- x^{2} - 18 (x) - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.2

Запишем $- 18$ как $- 9$ плюс $- 9$

$\frac{- x^{2} + (- 9 - 9) x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} - 9 x - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{2} - 9 x) - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- x - 9) + 9 (- x - 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 9^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{((x + 9) (x - 9))}^{2}}$

Этап 2.1.3.6.3

Применим правило умножения к $(x + 9) (x - 9)$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(- (x) - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.2

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (9)) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.4

Перепишем $- (x + 9)$ в виде $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.5

Возведем $x + 9$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} (x + 9))}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.6

Возведем $x + 9$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} {(x + 9)}^{1})}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{1 + 1}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.8

Сократим общий множитель ${(x + 9)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 3.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 5.2.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 6

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ в интервале $(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$ .

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, 9)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f' (8) = - \frac{1}{{((8) - 9)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вычтем $9$ из $8$ .

$f' (8) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

Этап 7.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

Этап 7.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f' (8) = - 1 \cdot 1$

Этап 7.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (8) = - 1$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 7.3

При $x = 8$ производная имеет вид $- 1$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 9)$ .

Убывание на $(- \infty, 9)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(9, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10$ .

$f' (10) = - \frac{1}{{((10) - 9)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Вычтем $9$ из $10$ .

$f' (10) = - \frac{1}{1^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

Этап 8.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

Этап 8.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f' (10) = - 1 \cdot 1$

Этап 8.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (10) = - 1$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 8.3

При $x = 10$ производная имеет вид $- 1$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(9, \infty)$ .

Убывание на $(9, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, 9), (9, \infty)$

Этап 10