Математический анализ Примеры

$x - 3 \sqrt[3]{x}$

Этап 1

Запишем $x - 3 \sqrt[3]{x}$ в виде функции.

$f (x) = x - 3 \sqrt[3]{x}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $x - 3 \sqrt[3]{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 2.1.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 2.1.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.1.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 2.1.2.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 2.1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 2.1.2.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 2.1.2.10

Объединим $- 3$ и $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 2.1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.12

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.13.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Этап 2.1.2.13.2

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.13.3

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Этап 3.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4

Каждый член в $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ умножим на $x^{\frac{2}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - x^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ .

$- x^{\frac{2}{3}} = - 1$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{2}{3}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.2

Разделим $x^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 1$

Этап 3.5.3

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1

Упростим ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.4.1.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.4.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.4.1.1.2

Упростим.

$x = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm 1$

Этап 3.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 3.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 3.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $1, - 1$ .

$1, - 1$

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 5.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Этап 5.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Этап 5.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 5.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 5.3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 0^{3}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.3.3.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.3.3.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 7.2

Окончательный ответ: $1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 7.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(- 1, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 8.2.1.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Этап 8.2.1.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Этап 8.2.1.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Этап 8.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Этап 8.2.1.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{1 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Этап 8.2.1.1.6

Умножим $\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 8.2.1.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2^{\frac{2}{3}})$

Этап 8.2.1.3

Умножим $2^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.2.2

Окончательный ответ: $1 - 2^{\frac{2}{3}}$ .

$1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 8.3

Упростим.

$- 0.58740105$

Этап 8.4

При $x = - \frac{1}{2}$ производная имеет вид $- 0.58740105$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1, 0)$ .

Убывание на $(- 1, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(0, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 9.2.1.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 9.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2^{\frac{2}{3}})$

Этап 9.2.1.3

Умножим $2^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 9.2.2

Окончательный ответ: $1 - 2^{\frac{2}{3}}$ .

$1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 9.3

Упростим.

$- 0.58740105$

Этап 9.4

При $x = \frac{1}{2}$ производная имеет вид $- 0.58740105$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 1)$ .

Убывание на $(0, 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 1 - \frac{1}{{(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (2) = 1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.2.2

Окончательный ответ: $1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.3

Упростим.

$0.37003947$

Этап 10.4

При $x = 2$ производная имеет вид $0.37003947$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 11

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(1, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 1), (- 1, 0), (0, 1)$

Этап 12