Математический анализ Примеры

$(2 x + 1) (2 x - 1)$

Этап 1

Запишем $(2 x + 1) (2 x - 1)$ в виде функции.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int (2 x + 1) (2 x - 1) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) d x$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) d x$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.4

Перенесем $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.5

Перенесем $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\int 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 4 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.12

Умножим $2$ на $1$ .

$\int 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1 d x$

Этап 4.14

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\int 4 x^{2} + 0 - 1 d x$

Этап 4.15

Вычтем $1$ из $0$ .

$\int 4 x^{2} - 1 d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 x^{2} d x + \int - 1 d x$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 1 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - x + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - x + C$

Этап 9.2

Упростим.

$\frac{4 x^{3}}{3} - x + C$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{3} x^{3} - x + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} - x + C$