Математический анализ Примеры

$y = \frac{16}{x}$ , $y = x$ , $y = \frac{x}{4}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{16}{x} = x$

Этап 1.2

Решим $\frac{16}{x} = x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Этап 1.2.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Этап 1.2.2

Каждый член в $\frac{16}{x} = x$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим каждый член $\frac{16}{x} = x$ на $x$ .

$\frac{16}{x} \cdot x = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{x} \cdot x = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Этап 1.2.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} = 16$ .

$x^{2} = 16 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Этап 1.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Этап 1.2.3.3

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Этап 1.2.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = \pm 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Этап 1.2.3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Этап 1.2.3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Этап 1.2.3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = 4 y = \frac{4}{4}$

Этап 1.3.2

Избавимся от скобок.

$y = 4$

Этап 1.4

Подставим $4$ вместо $x$ в $y = \frac{4}{4}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{4}{4}$

Этап 1.4.2

Разделим $4$ на $4$ .

$y = 1$

Этап 1.5

Вычислим $y$ , когда $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подставим $- 4$ вместо $x$ .

$y = - 4 y = \frac{- 4}{4}$

Этап 1.5.2

Избавимся от скобок.

$y = - 4$

Этап 1.6

Разделим $- 4$ на $4$ .

$y = - 1$

Этап 1.7

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(4, 1)$

$(- 4, - 1)$

$(4, 1)$

$(- 4, - 1)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 4}^{4} x d x - \int_{- 4}^{4} \frac{16}{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 4}^{4} x - (\frac{16}{x}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $\frac{16}{x}$ .

$\int_{- 4}^{4} x - \frac{16}{x} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 4}^{4} x d x + \int_{- 4}^{4} - \frac{16}{x} d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - \frac{16}{x} d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} \frac{16}{x} d x$

Этап 3.6

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - (16 \int_{- 4}^{4} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.7

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - 16 \int_{- 4}^{4} \frac{1}{x} d x$

Этап 3.8

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - 16 (\ln (| x |)]_{- 4}^{4})$

Этап 3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $4$ и в $- 4$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| x |)]_{- 4}^{4})$

Этап 3.9.1.2

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $4$ и в $- 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $16$ .

$\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.3

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.3.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$8 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.4

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 16 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.5

Умножим $16$ на $- 1$ .

$8 - 16 (\frac{1}{2}) - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.6

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{2}$ .

$8 + \frac{- 16}{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.7

Сократим общий множитель $- 16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$8 + \frac{- 8}{1} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.7.2.4

Разделим $- 8$ на $1$ .

$8 - 8 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.8

Вычтем $8$ из $8$ .

$0 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.1.3.9

Вычтем $16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$ из $0$ .

$- 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Этап 3.9.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 16 \ln (\frac{| 4 |}{| - 4 |})$

Этап 3.9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$- 16 \ln (\frac{4}{| - 4 |})$

Этап 3.9.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 4$ и $0$ равно $4$ .

$- 16 \ln (\frac{4}{4})$

Этап 3.9.3.3

Разделим $4$ на $4$ .

$- 16 \ln (1)$

Этап 3.9.3.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- 16 \cdot 0$

Этап 3.9.3.5

Умножим $- 16$ на $0$ .

$0$

Этап 4