Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

Этап 1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

Этап 1.3

Поскольку функция $e^{x}$ стремится к $\infty$ , произведение отрицательной константы $- 2$ и функции стремится к $- \infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $- 2$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 1.3.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.3.3

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 1.3.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{- \infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Этап 3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Этап 3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 e^{x}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 e^{x}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 e^{x}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{- 2 e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (- 2 e^{x})}$

Этап 5.2

Вынесем член $\frac{1}{- 2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{x})}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x (e^{x})}$ стремится к $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot 0$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 7.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2})$

Этап 7.2.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$0$