Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\ln (\sec (x))}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Этап 1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Этап 1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{0}{\ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\ln (\sec (0))}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Этап 1.3.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Этап 3.4

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Этап 3.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Этап 3.6

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Этап 3.7

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Этап 3.8

Избавимся от скобок.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sec (x) \cos (x) \tan (x)}$

Этап 3.9.1.2

Выразим $\cos (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)}$

Этап 3.9.1.3

Сократим общие множители.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{1 \tan (x)}$

Этап 3.9.2

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (x)}$

Этап 3.9.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $2$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 5.2

Объединим $x$ и $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{\sin (x)}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Этап 7

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x (\cos (x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 7.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 7.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 7.1.2.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 7.1.2.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 7.1.2.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.4.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 7.1.2.4.2

Умножим $0$ на $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 7.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Этап 7.1.3.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 7.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 7.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 7.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 7.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 7.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 7.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 7.3.5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 7.3.6

Изменим порядок членов.

$2 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 7.3.7

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 8.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 8.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 8.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 8.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 8.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 9.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (0)}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$2 \frac{0 \cdot 0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

Этап 10.1.2

Умножим $0$ на $0$ .

$2 \frac{0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

Этап 10.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \frac{0 + 1}{\cos (0)}$

Этап 10.1.4

Добавим $0$ и $1$ .

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

Этап 10.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{1})$

Этап 10.3.2

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 1$

Этап 10.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$