Математический анализ Примеры

$h (s) = s^{3} (s^{2} - 16 s + 8)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [f (s) g (s)]$ имеет вид $f (s) \frac{d}{d s} [g (s)] + g (s) \frac{d}{d s} [f (s)]$ , где $f (s) = s^{3}$ и $g (s) = s^{2} - 16 s + 8$ .

$s^{3} \frac{d}{d s} [s^{2} - 16 s + 8] + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $s^{2} - 16 s + 8$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [- 16 s] + \frac{d}{d s} [8]$ .

$s^{3} (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [- 16 s] + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$s^{3} (2 s + \frac{d}{d s} [- 16 s] + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 16$ является константой относительно $s$ , производная $- 16 s$ по $s$ равна $- 16 \frac{d}{d s} [s]$ .

$s^{3} (2 s - 16 \frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$s^{3} (2 s - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Этап 1.2.5

Умножим $- 16$ на $1$ .

$s^{3} (2 s - 16 + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Этап 1.2.6

Поскольку $8$ является константой относительно $s$ , производная $8$ относительно $s$ равна $0$ .

$s^{3} (2 s - 16 + 0) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Этап 1.2.7

Добавим $2 s - 16$ и $0$ .

$s^{3} (2 s - 16) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$s^{3} (2 s - 16) + (s^{2} - 16 s + 8) (3 s^{2})$

Этап 1.2.9

Перенесем $3$ влево от $s^{2} - 16 s + 8$ .

$s^{3} (2 s - 16) + 3 \cdot (s^{2} - 16 s + 8) s^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$s^{3} (2 s) + s^{3} \cdot - 16 + 3 (s^{2} - 16 s + 8) s^{2}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$s^{3} (2 s) + s^{3} \cdot - 16 + (3 s^{2} + 3 (- 16 s) + 3 \cdot 8) s^{2}$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$s^{3} (2 s) + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Умножим $s^{3}$ на $s$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Перенесем $s$ .

$s \cdot s^{3} \cdot 2 + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4.1.2

Умножим $s$ на $s^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.2.1

Возведем $s$ в степень $1$ .

$s^{1} s^{3} \cdot 2 + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s^{1 + 3} \cdot 2 + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$s^{4} \cdot 2 + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4.2

Перенесем $2$ влево от $s^{4}$ .

$2 \cdot s^{4} + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4.3

Перенесем $- 16$ влево от $s^{3}$ .

$2 s^{4} - 16 \cdot s^{3} + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4.4

Умножим $s^{2}$ на $s^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.4.1

Перенесем $s^{2}$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 (s^{2} s^{2}) + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{2 + 2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4.5

Умножим $- 16$ на $3$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 s \cdot s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4.6

Умножим $s$ на $s^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.6.1

Перенесем $s^{2}$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 (s^{2} s) + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4.6.2

Умножим $s^{2}$ на $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.6.2.1

Возведем $s$ в степень $1$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 (s^{2} s^{1}) + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 s^{2 + 1} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 s^{3} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Этап 1.3.4.7

Умножим $3$ на $8$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 s^{3} + 24 s^{2}$

Этап 1.3.4.8

Добавим $2 s^{4}$ и $3 s^{4}$ .

$5 s^{4} - 16 s^{3} - 48 s^{3} + 24 s^{2}$

Этап 1.3.4.9

Вычтем $48 s^{3}$ из $- 16 s^{3}$ .

$f' (s) = 5 s^{4} - 64 s^{3} + 24 s^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 s^{4} - 64 s^{3} + 24 s^{2}$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [5 s^{4}] + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$ .

$\frac{d}{d s} [5 s^{4}] + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d s} [5 s^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $s$ , производная $5 s^{4}$ по $s$ равна $5 \frac{d}{d s} [s^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d s} [s^{4}] + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (4 s^{3}) + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$20 s^{3} + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d s} [- 64 s^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 64$ является константой относительно $s$ , производная $- 64 s^{3}$ по $s$ равна $- 64 \frac{d}{d s} [s^{3}]$ .

$20 s^{3} - 64 \frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$20 s^{3} - 64 (3 s^{2}) + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 64$ .

$20 s^{3} - 192 s^{2} + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d s} [24 s^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $24$ является константой относительно $s$ , производная $24 s^{2}$ по $s$ равна $24 \frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$20 s^{3} - 192 s^{2} + 24 \frac{d}{d s} [s^{2}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$20 s^{3} - 192 s^{2} + 24 (2 s)$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $24$ .

$f'' (s) = 20 s^{3} - 192 s^{2} + 48 s$

Этап 3

Вторая производная $h (s)$ по $s$ равна $20 s^{3} - 192 s^{2} + 48 s$ .

$20 s^{3} - 192 s^{2} + 48 s$