Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{2} - 13 x - \frac{4}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 13 x - \frac{4}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 13 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 13$ является константой относительно $x$ , производная $- 13 x$ по $x$ равна $- 13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - 13 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 x - 13 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 13$ на $1$ .

$10 x - 13 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 x - 13 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 1.4.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$10 x - 13 - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$10 x - 13 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$10 x - 13 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$10 x - 13 - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$10 x - 13 - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 1.4.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 x - 13 - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 1.4.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$10 x - 13 - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 1.4.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$10 x - 13 - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 1.4.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 x - 13 - 4 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Этап 1.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 x - 13 - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 1.4.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$10 x - 13 - 4 (- 2 x^{- 3})$

Этап 1.4.10

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$10 x - 13 + 8 x^{- 3}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 x - 13 + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.5.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$10 x - 13 + \frac{8}{x^{3}}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 10 x + \frac{8}{x^{3}} - 13$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $10 x + \frac{8}{x^{3}} - 13$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 13]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.2.3

Умножим $10$ на $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8}{x^{3}}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$10 + 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$10 + 8 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$10 + 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$10 + 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$10 + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$10 + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 + 8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.3.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$10 + 8 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$10 + 8 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.3.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$10 + 8 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 + 8 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.3.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$10 + 8 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.3.8

Умножим $- 3$ на $8$ .

$10 - 24 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 13]$

Этап 2.4

Поскольку $- 13$ является константой относительно $x$ , производная $- 13$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 - 24 x^{- 4} + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 - 24 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим $- 24$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$10 + \frac{- 24}{x^{4}} + 0$

Этап 2.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$10 - \frac{24}{x^{4}} + 0$

Этап 2.5.2.3

Добавим $10 - \frac{24}{x^{4}}$ и $0$ .

$10 - \frac{24}{x^{4}}$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - \frac{24}{x^{4}} + 10$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- \frac{24}{x^{4}} + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{24}{x^{4}}$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 24 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4}$ .

$- 24 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$- 24 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 24 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 24 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.2.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 24 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.2.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 24 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.2.7

Умножим $x^{- 8}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- 24 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 24 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.2.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$- 24 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.2.8

Умножим $- 4$ на $- 24$ .

$96 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.3

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$96 x^{- 5} + 0$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$96 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $96$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{96}{x^{5}} + 0$

Этап 3.4.2.2

Добавим $\frac{96}{x^{5}}$ и $0$ .

$f''' (x) = \frac{96}{x^{5}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $96$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{96}{x^{5}}$ по $x$ равна $96 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$96 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{5}}$ в виде ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$96 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$96 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Этап 4.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$96 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 5$ .

$96 (- 5 x^{- 6})$

Этап 4.4

Умножим $- 5$ на $96$ .

$- 480 x^{- 6}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 480 \frac{1}{x^{6}}$

Этап 4.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Объединим $- 480$ и $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{- 480}{x^{6}}$

Этап 4.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = - \frac{480}{x^{6}}$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{480}{x^{6}}$ .

$- \frac{480}{x^{6}}$