Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{8}{9} x^{3} - x^{2} + 2 x - 8$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{4}}{4} + \frac{8}{9} x^{3} - x^{2} + 2 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{4}}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{4}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2.5.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{8}{9} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $\frac{8}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8}{9} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{8}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + \frac{8}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} + \frac{8}{9} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.3.3

Объединим $3$ и $\frac{8}{9}$ .

$x^{3} + \frac{3 \cdot 8}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.3.4

Умножим $3$ на $8$ .

$x^{3} + \frac{24}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.3.5

Объединим $\frac{24}{9}$ и $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{24 x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.3.6

Сократим общий множитель $24$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $24 x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{3 (8 x^{2})}{9} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$x^{3} + \frac{3 (8 x^{2})}{3 (3)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} + \frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} - 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} - 2 x + 2 + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} - 2 x + 2$ и $0$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} - 2 x + 2$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} - 2 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{8 x^{2}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{8 x^{2}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{8 x^{2}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{2}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{8}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8 x^{2}}{3}$ по $x$ равна $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + \frac{8}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{8}{3}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 8}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $8$ .

$3 x^{2} + \frac{16}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.5

Объединим $\frac{16}{3}$ и $x$ .

$3 x^{2} + \frac{16 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + \frac{16 x}{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + \frac{16 x}{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$3 x^{2} + \frac{16 x}{3} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + \frac{16 x}{3} - 2 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3 x^{2} + \frac{16 x}{3} - 2$ и $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{16 x}{3} - 2$