Математический анализ Примеры

$\ln (\frac{7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x}}{\sqrt[3]{x^{3} - 4}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (\frac{7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x}}{\sqrt[3]{x^{3} - 4}})$ в виде $\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x}) - \ln (\sqrt[3]{x^{3} - 4})$ .

$\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x}) - \ln (\sqrt[3]{x^{3} - 4})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{3} - 4}$ в виде ${(x^{3} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x}) - \ln ({(x^{3} - 4)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 3

Развернем $\ln ({(x^{3} - 4)}^{\frac{1}{3}})$ , вынося $\frac{1}{3}$ из логарифма.

$\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x}) - (\frac{1}{3} \ln (x^{3} - 4))$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (x^{3} - 4)$ .

$\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x}) - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Этап 5

Перепишем $\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x})$ в виде $\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4}) + \ln (e^{5 x})$ .

$\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4}) + \ln (e^{5 x}) - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Этап 6

Перепишем $\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4})$ в виде $\ln (7) + \ln ({(x^{2} - 3)}^{4})$ .

$\ln (7) + \ln ({(x^{2} - 3)}^{4}) + \ln (e^{5 x}) - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Этап 7

Развернем $\ln ({(x^{2} - 3)}^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\ln (7) + 4 \ln (x^{2} - 3) + \ln (e^{5 x}) - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Этап 8

Развернем $\ln (e^{5 x})$ , вынося $5 x$ из логарифма.

$\ln (7) + 4 \ln (x^{2} - 3) + 5 x \ln (e) - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Этап 9

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (7) + 4 \ln (x^{2} - 3) + 5 x \cdot 1 - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Этап 10

Умножим $5$ на $1$ .

$\ln (7) + 4 \ln (x^{2} - 3) + 5 x - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Этап 11

Чтобы записать $\ln (7)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 \ln (x^{2} - 3) + 5 x + \ln (7) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Этап 12

Объединим $\ln (7)$ и $\frac{3}{3}$ .

$4 \ln (x^{2} - 3) + 5 x + \frac{\ln (7) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Этап 13

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \ln (x^{2} - 3) + 5 x + \frac{\ln (7) \cdot 3 - \ln (x^{3} - 4)}{3}$

Этап 14

Перенесем $3$ влево от $\ln (7)$ .

$4 \ln (x^{2} - 3) + 5 x + \frac{3 \ln (7) - \ln (x^{3} - 4)}{3}$

Этап 15

Чтобы записать $4 \ln (x^{2} - 3)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$5 x + 4 \ln (x^{2} - 3) \cdot \frac{3}{3} + \frac{3 \ln (7) - \ln (x^{3} - 4)}{3}$

Этап 16

Объединим $4 \ln (x^{2} - 3)$ и $\frac{3}{3}$ .

$5 x + \frac{4 \ln (x^{2} - 3) \cdot 3}{3} + \frac{3 \ln (7) - \ln (x^{3} - 4)}{3}$

Этап 17

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 x + \frac{4 \ln (x^{2} - 3) \cdot 3 + 3 \ln (7) - \ln (x^{3} - 4)}{3}$

Этап 18

Умножим $3$ на $4$ .

$5 x + \frac{12 \ln (x^{2} - 3) + 3 \ln (7) - \ln (x^{3} - 4)}{3}$