Математический анализ Примеры

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Этап 1

Запишем $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ в виде функции.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 2.1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (x) \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 2.2.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 2.2.2.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 2.2.2.5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 2.2.2.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 2.2.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 2.2.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 2.2.2.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 2.2.2.10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 2.2.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 2.2.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Этап 3.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{π}{3}$ в $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 4.1.2.1.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Этап 4.1.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Этап 4.1.2.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

Этап 4.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 4.1.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

Этап 4.1.2.2.3

Добавим $4$ и $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Этап 4.2

Подставляя $\frac{π}{3}$ в $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ , найдем точку $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{π}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.94719755$ .

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Этап 6.3

При $0.94719755$ вторая производная имеет вид $- 0.53195951$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, \frac{π}{3})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{π}{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{π}{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.14719755$ .

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Этап 7.2

Окончательный ответ: $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Этап 7.3

При $1.14719755$ вторая производная имеет вид $0.50208433$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{π}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{π}{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Этап 9