Математический анализ Примеры

$f (x) = | 6 - x^{2} |$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = | x |$ и $g (x) = 6 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Этап 1.1.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 - x^{2}$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $6 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 1.2.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (- (2 x))$

Этап 1.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (- 2 x)$

Этап 1.2.6.2

Объединим $- 2$ и $\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |} x$

Этап 1.2.6.3

Объединим $\frac{- 2 (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ и $x$ .

$\frac{- 2 (6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 1.2.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 (6 - x^{2})) x}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{(2 \cdot 6 + 2 (- x^{2})) x}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 \cdot 6 x + 2 (- x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 1.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $2$ на $6$ .

$- \frac{12 x + 2 (- x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 1.3.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{12 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 1.3.3.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{12 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 1.3.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{12 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 1.3.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{12 x + 2 (- x^{3})}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{12 x - 2 x^{3}}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $2 x$ из $12 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $12 x$ .

$- \frac{2 x (6) - 2 x^{3}}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 1.3.4.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (6) + 2 x (- x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 1.3.4.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (6) + 2 x (- x^{2})$ .

$- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x (6 - x^{2})$ и $g (x) = | 6 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x (6 - x^{2})) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 6 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (x \frac{d}{d x} (6 - x^{2}) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $6 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (x (\frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.4.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (x (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (x \frac{d}{d x} (- x^{2}) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (x (- \frac{d}{d x} x^{2}) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (x (- (2 x)) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.4.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (x (- 2 x) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 2 (x \cdot x) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 2 (x \cdot x) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 2 x^{1 + 1} + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 2 x^{2} + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 2 x^{2} + (6 - x^{2}) \cdot 1) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.8.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Умножим $6 - x^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 2 x^{2} + 6 - x^{2}) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.8.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - x (6 - x^{2}) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.9.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - x (6 - x^{2}) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.9.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - x (6 - x^{2}) (\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Объединим $\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |}$ и $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - \frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (6 - x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.10.2

По правилу суммы производная $6 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - \frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |} \cdot ((6 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.10.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - \frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |} \cdot ((6 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.10.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - \frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.10.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - \frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |} \cdot ((6 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.10.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + 1 (\frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}) \cdot (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.10.6.2

Умножим $\frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.10.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |} \cdot ((6 - x^{2}) (2 x))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.10.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.8.1

Объединим $2$ и $\frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{2 ((6 - x^{2}) x)}{| 6 - x^{2} |} \cdot ((6 - x^{2}) x)}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.10.8.2

Объединим $x$ и $\frac{2 ((6 - x^{2}) x)}{| 6 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x (2 ((6 - x^{2}) x))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x \cdot x (2 (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x \cdot x (2 (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x^{1 + 1} (2 (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.14

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x^{2} (2 (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.15

Объединим $- 2$ и $\frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x^{2} (2 (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} (6 - x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x^{2} (2 (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x^{2} (2 (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x^{2} (2 \cdot 6 + 2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6)) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2}) + | 6 - x^{2} | \cdot 6) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 6 - x^{2} | x^{2} + | 6 - x^{2} | \cdot 6) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.3

Перенесем $6$ влево от $| 6 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 6 - x^{2} | x^{2} + 6 \cdot | 6 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 6 - x^{2} | x^{2}) + 2 (6 | 6 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.5

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 (| 6 - x^{2} | x^{2}) + 2 (6 | 6 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.6

Умножим $6$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 (| 6 - x^{2} | x^{2}) + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.7.1

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} \cdot 12 + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.7.2

Перенесем $12$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{12 \cdot x^{2} + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{12 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.7.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.7.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{12 x^{2} + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.7.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{12 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2 + 2})}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.7.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{12 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{4})}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.7.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{12 x^{2} - 2 x^{4}}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.7.6

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $12 x^{2} - 2 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.7.6.1

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (6) - 2 x^{4}}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.7.6.2

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $- 2 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (6) + 2 x^{2} (- x^{2})}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.7.6.3

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{2} (6) + 2 x^{2} (- x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.8

Умножим $\frac{2 x^{2} (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ на $6 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (6 - x^{2}) (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.9.1

Возведем $6 - x^{2}$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} ((6 - x^{2}) (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.9.2

Возведем $6 - x^{2}$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} ((6 - x^{2}) (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.9.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} {(6 - x^{2})}^{1 + 1}}{| 6 - x^{2} |})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.9.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.10

Умножим $2 \frac{2 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.10.1

Объединим $2$ и $\frac{2 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 (2 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.1.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + \frac{4 (x^{2} {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + \frac{4 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.2

Чтобы записать $- 6 | 6 - x^{2} | x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| 6 - x^{2} |}{| 6 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | - 6 | 6 - x^{2} | x^{2} \cdot \frac{| 6 - x^{2} |}{| 6 - x^{2} |} + \frac{4 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.3

Объединим $- 6 | 6 - x^{2} | x^{2}$ и $\frac{| 6 - x^{2} |}{| 6 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} | 6 - x^{2} |}{| 6 - x^{2} |} + \frac{4 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} | 6 - x^{2} | + 4 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.5.1

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} | 6 - x^{2} | + 4 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.5.1.1

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} | 6 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |) + 4 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.1.2

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $4 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |) + 2 x^{2} (2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.1.3

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{2} (- 3 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |) + 2 x^{2} (2 {(6 - x^{2})}^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.5.2.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.2.2

Возведем $6 - x^{2}$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.2.3

Возведем $6 - x^{2}$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | {(6 - x^{2})}^{1 + 1} | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | {(6 - x^{2})}^{2} | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.5.3.1

Перепишем ${(6 - x^{2})}^{2}$ в виде $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.2

Развернем $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.5.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.5.3.3.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.3.1.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.3.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.5.3.3.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.3.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.3.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4} | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.3.1.7

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4} | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.3.2

Вычтем $6 x^{2}$ из $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.4

Перепишем ${(6 - x^{2})}^{2}$ в виде $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 ((6 - x^{2}) (6 - x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.5

Развернем $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.5.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.5.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.5.3.6.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.6.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.6.1.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.6.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.5.3.6.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.6.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.6.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.6.1.7

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.6.2

Вычтем $6 x^{2}$ из $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 12 x^{2} + x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 \cdot 36 + 2 (- 12 x^{2}) + 2 x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.5.3.8.1

Умножим $2$ на $36$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 + 2 (- 12 x^{2}) + 2 x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.5.3.8.2

Умножим $- 12$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.6

Чтобы записать $12 | 6 - x^{2} |$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| 6 - x^{2} |}{| 6 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{12 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |}{| 6 - x^{2} |} + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{\frac{12 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} | + 2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.8.1

Вынесем множитель $2$ из $12 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} | + 2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |) + 2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |) + 2 (x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |) + 2 (x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.2

Умножим $6 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.8.2.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.2.2

Возведем $6 - x^{2}$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.2.3

Возведем $6 - x^{2}$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | {(6 - x^{2})}^{1 + 1} | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | {(6 - x^{2})}^{2} | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.3

Перепишем ${(6 - x^{2})}^{2}$ в виде $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.4

Развернем $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.8.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.8.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.8.5.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.5.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.5.1.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.5.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.8.5.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.5.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.5.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4} | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.5.1.7

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.5.2

Вычтем $6 x^{2}$ из $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} |) + x^{2} \cdot 72 + x^{2} (- 24 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.8.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + x^{2} \cdot 72 + x^{2} (- 24 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.7.2

Перенесем $72$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 \cdot x^{2} + x^{2} (- 24 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 \cdot x^{2} - 24 x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 \cdot x^{2} - 24 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.8.8.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.8.8.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 (x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{2 + 2} + 2 x^{2} x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.8.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{2} x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.8.8.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 (x^{4} x^{2}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{4 + 2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.4.8.8.2.3

Добавим $4$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.5.1

Перепишем $\frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = - (\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{| 6 - x^{2} |} \cdot \frac{1}{{| 6 - x^{2} |}^{2}})$

Этап 2.17.5.2

Умножим $\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{| 6 - x^{2} |}$ на $\frac{1}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{| 6 - x^{2} | {| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.5.3

Умножим $| 6 - x^{2} |$ на ${| 6 - x^{2} |}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.5.3.1

Умножим $| 6 - x^{2} |$ на ${| 6 - x^{2} |}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.5.3.1.1

Возведем $| 6 - x^{2} |$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{| 6 - x^{2} | {| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.17.5.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{{| 6 - x^{2} |}^{1 + 2}}$

Этап 2.17.5.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{{| 6 - x^{2} |}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Этап 4.1.1.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Этап 4.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 - x^{2}$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $6 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 4.1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (- (2 x))$

Этап 4.1.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (- 2 x)$

Этап 4.1.2.6.2

Объединим $- 2$ и $\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |} x$

Этап 4.1.2.6.3

Объединим $\frac{- 2 (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ и $x$ .

$\frac{- 2 (6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 4.1.2.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 (6 - x^{2})) x}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{(2 \cdot 6 + 2 (- x^{2})) x}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 \cdot 6 x + 2 (- x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Умножим $2$ на $6$ .

$- \frac{12 x + 2 (- x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.2.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{12 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.3.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{12 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{12 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{12 x + 2 (- x^{3})}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{12 x - 2 x^{3}}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.4

Вынесем множитель $2 x$ из $12 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $12 x$ .

$- \frac{2 x (6) - 2 x^{3}}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.4.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (6) + 2 x (- x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.4.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (6) + 2 x (- x^{2})$ .

$f' (x) = - \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ .

$- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x (6 - x^{2}) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$6 - x^{2} = 0$

Этап 5.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.3.3

Приравняем $6 - x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Приравняем $6 - x^{2}$ к $0$ .

$6 - x^{2} = 0$

Этап 5.3.3.2

Решим $6 - x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 6$

Этап 5.3.3.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 6$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 6$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 5.3.3.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 5.3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.3.1

Разделим $- 6$ на $- 1$ .

$x^{2} = 6$

Этап 5.3.3.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{6}$

Этап 5.3.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{6}$

Этап 5.3.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{6}$

Этап 5.3.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Этап 5.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (6 - x^{2}) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Этап 5.4

Исключим решения, которые не делают $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |} = 0$ истинным.

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| 6 - x^{2} | = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$6 - x^{2} = \pm 0$

Этап 6.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$6 - x^{2} = 0$

Этап 6.2.3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 6$

Этап 6.2.4

Разделим каждый член $- x^{2} = - 6$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 6$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 6.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 6.2.4.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 6.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.3.1

Разделим $- 6$ на $- 1$ .

$x^{2} = 6$

Этап 6.2.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{6}$

Этап 6.2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{6}$

Этап 6.2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{6}$

Этап 6.2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Этап 6.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - \sqrt{6}, x = \sqrt{6}$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - \sqrt{6}, \sqrt{6}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2 (6 | 36 - 12 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | - 3 {(0)}^{2} | 36 - 12 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | + 72 {(0)}^{2} - 24 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{6})}{{| 6 - {(0)}^{2} |}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (6 | 36 - 12 \cdot 0 + 0^{4} | - 3 \cdot 0^{2} | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.1.2

Умножим $- 12$ на $0$ .

$- \frac{2 (6 | 36 + 0 + 0^{4} | - 3 \cdot 0^{2} | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (6 | 36 + 0 + 0 | - 3 \cdot 0^{2} | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.2

Добавим $36$ и $0$ .

$- \frac{2 (6 | 36 + 0 | - 3 \cdot 0^{2} | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.3

Добавим $36$ и $0$ .

$- \frac{2 (6 | 36 | - 3 \cdot 0^{2} | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $36$ равно $36$ .

$- \frac{2 (6 \cdot 36 - 3 \cdot 0^{2} | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.5

Умножим $6$ на $36$ .

$- \frac{2 (216 - 3 \cdot 0^{2} | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (216 - 3 \cdot 0 | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.7

Умножим $- 3$ на $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 | 36 - 12 \cdot 0 + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.8.2

Умножим $- 12$ на $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 | 36 + 0 + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.8.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 | 36 + 0 + 0 | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.9

Добавим $36$ и $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 | 36 + 0 | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.10

Добавим $36$ и $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 | 36 | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.11

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $36$ равно $36$ .

$- \frac{2 (216 + 0 \cdot 36 + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.12

Умножим $0$ на $36$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.13

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 72 \cdot 0 - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.14

Умножим $72$ на $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 0 - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.15

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 0 - 24 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.16

Умножим $- 24$ на $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 0 + 0 + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.17

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 0 + 0 + 2 \cdot 0)}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.18

Умножим $2$ на $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 0 + 0 + 0)}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.19

Добавим $216 + 0 + 0 + 0$ и $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 0 + 0)}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.20

Добавим $216 + 0 + 0$ и $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 0)}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.21

Добавим $216 + 0$ и $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0)}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.1.22

Добавим $216$ и $0$ .

$- \frac{2 \cdot 216}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 \cdot 216}{{| 6 - 0 |}^{3}}$

Этап 9.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{2 \cdot 216}{{| 6 + 0 |}^{3}}$

Этап 9.2.3

Добавим $6$ и $0$ .

$- \frac{2 \cdot 216}{{| 6 |}^{3}}$

Этап 9.2.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $6$ равно $6$ .

$- \frac{2 \cdot 216}{6^{3}}$

Этап 9.2.5

Возведем $6$ в степень $3$ .

$- \frac{2 \cdot 216}{216}$

Этап 9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $2$ на $216$ .

$- \frac{432}{216}$

Этап 9.3.2

Разделим $432$ на $216$ .

$- 1 \cdot 2$

Этап 9.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = | 6 - {(0)}^{2} |$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = | 6 - 0 |$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = | 6 + 0 |$

Этап 11.2.2

Добавим $6$ и $0$ .

$f (0) = | 6 |$

Этап 11.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $6$ равно $6$ .

$f (0) = 6$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $6$ .

$y = 6$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \sqrt{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2 (6 | 36 - 12 {(- \sqrt{6})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{4} | - 3 {(- \sqrt{6})}^{2} | 36 - 12 {(- \sqrt{6})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{4} | + 72 {(- \sqrt{6})}^{2} - 24 {(- \sqrt{6})}^{4} + 2 {(- \sqrt{6})}^{6})}{{| 6 - {(- \sqrt{6})}^{2} |}^{3}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{6}$ .

Этап 13.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

Этап 13.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

Этап 13.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Этап 13.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

Этап 13.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

Этап 13.1.4

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

Этап 13.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Этап 13.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

Этап 13.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 13.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

Этап 13.1.4.5

Найдем экспоненту.

Этап 13.1.5

Умножим $- 1$ на $6$ .

Этап 13.2

Вычтем $6$ из $6$ .

Этап 13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

Этап 13.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

Этап 13.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 5$ , из интервала $(- \infty, - \sqrt{6})$ в первую производную $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{2 (- 5) (6 - {(- 5)}^{2})}{| 6 - {(- 5)}^{2} |}$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Умножим $2$ на $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (6 - {(- 5)}^{2})}{| 6 - {(- 5)}^{2} |}$

Этап 14.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (6 - {(- 5)}^{2})}{| 6 - 1 \cdot 25 |}$

Этап 14.2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (6 - {(- 5)}^{2})}{| 6 - 25 |}$

Этап 14.2.2.2.3

Вычтем $25$ из $6$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (6 - {(- 5)}^{2})}{| - 19 |}$

Этап 14.2.2.2.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 19$ и $0$ равно $19$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (6 - {(- 5)}^{2})}{19}$

Этап 14.2.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.3.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (6 - 1 \cdot 25)}{19}$

Этап 14.2.2.3.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (6 - 25)}{19}$

Этап 14.2.2.3.3

Вычтем $25$ из $6$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 \cdot - 19}{19}$

Этап 14.2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.4.1

Умножим $- 10$ на $- 19$ .

$f' (- 5) = - \frac{190}{19}$

Этап 14.2.2.4.2

Разделим $190$ на $19$ .

$f' (- 5) = - 1 \cdot 10$

Этап 14.2.2.4.3

Умножим $- 1$ на $10$ .

$f' (- 5) = - 10$

Этап 14.2.2.5

Окончательный ответ: $- 10$ .

$- 10$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $- 1$ , из интервала $(- \sqrt{6}, 0)$ в первую производную $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (6 - {(- 1)}^{2})}{| 6 - {(- 1)}^{2} |}$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (6 + (- 1) {(- 1)}^{2})}{| 6 - {(- 1)}^{2} |}$

Этап 14.3.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (6 + {(- 1)}^{1 + 2})}{| 6 - {(- 1)}^{2} |}$

Этап 14.3.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (6 + {(- 1)}^{3})}{| 6 - {(- 1)}^{2} |}$

Этап 14.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 + {(- 1)}^{3})}{| 6 - {(- 1)}^{2} |}$

Этап 14.3.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.3.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.3.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 + {(- 1)}^{3})}{| 6 + (- 1) {(- 1)}^{2} |}$

Этап 14.3.2.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 + {(- 1)}^{3})}{| 6 + {(- 1)}^{1 + 2} |}$

Этап 14.3.2.3.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 + {(- 1)}^{3})}{| 6 + {(- 1)}^{3} |}$

Этап 14.3.2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 + {(- 1)}^{3})}{| 6 - 1 |}$

Этап 14.3.2.3.3

Вычтем $1$ из $6$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 + {(- 1)}^{3})}{| 5 |}$

Этап 14.3.2.3.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 + {(- 1)}^{3})}{5}$

Этап 14.3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.4.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 - 1)}{5}$

Этап 14.3.2.4.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Этап 14.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.5.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 10}{5}$

Этап 14.3.2.5.2

Разделим $- 10$ на $5$ .

$f' (- 1) = 2$

Этап 14.3.2.5.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (- 1) = 2$

Этап 14.3.2.6

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, \sqrt{6})$ в первую производную $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1) (6 - {(1)}^{2})}{| 6 - {(1)}^{2} |}$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (6 - 1^{2})}{| 6 - 1^{2} |}$

Этап 14.4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{2 (6 - 1^{2})}{| 6 - 1 \cdot 1 |}$

Этап 14.4.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (6 - 1^{2})}{| 6 - 1 |}$

Этап 14.4.2.2.3

Вычтем $1$ из $6$ .

$f' (1) = - \frac{2 (6 - 1^{2})}{| 5 |}$

Этап 14.4.2.2.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$f' (1) = - \frac{2 (6 - 1^{2})}{5}$

Этап 14.4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{2 (6 - 1 \cdot 1)}{5}$

Этап 14.4.2.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (6 - 1)}{5}$

Этап 14.4.2.3.3

Вычтем $1$ из $6$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot 5}{5}$

Этап 14.4.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.4.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (1) = - \frac{10}{5}$

Этап 14.4.2.4.2

Разделим $10$ на $5$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Этап 14.4.2.4.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (1) = - 2$

Этап 14.4.2.5

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 14.5

Подставим любое число такое, что $5$ , из интервала $(\sqrt{6}, \infty)$ в первую производную $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = - \frac{2 (5) (6 - {(5)}^{2})}{| 6 - {(5)}^{2} |}$

Этап 14.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (5) = - \frac{10 (6 - 5^{2})}{| 6 - 5^{2} |}$

Этап 14.5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (5) = - \frac{10 (6 - 5^{2})}{| 6 - 1 \cdot 25 |}$

Этап 14.5.2.2.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$f' (5) = - \frac{10 (6 - 5^{2})}{| 6 - 25 |}$

Этап 14.5.2.2.3

Вычтем $25$ из $6$ .

$f' (5) = - \frac{10 (6 - 5^{2})}{| - 19 |}$

Этап 14.5.2.2.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 19$ и $0$ равно $19$ .

$f' (5) = - \frac{10 (6 - 5^{2})}{19}$

Этап 14.5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (5) = - \frac{10 (6 - 1 \cdot 25)}{19}$

Этап 14.5.2.3.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$f' (5) = - \frac{10 (6 - 25)}{19}$

Этап 14.5.2.3.3

Вычтем $25$ из $6$ .

$f' (5) = - \frac{10 \cdot - 19}{19}$

Этап 14.5.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.4.1

Умножим $10$ на $- 19$ .

$f' (5) = - \frac{- 190}{19}$

Этап 14.5.2.4.2

Разделим $- 190$ на $19$ .

$f' (5) = 10$

Этап 14.5.2.4.3

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$f' (5) = 10$

Этап 14.5.2.5

Окончательный ответ: $10$ .

$10$

Этап 14.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - \sqrt{6}$ , $x = - \sqrt{6}$ — локальный минимум.

$x = - \sqrt{6}$ — локальный минимум

Этап 14.7

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 14.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \sqrt{6}$ , $x = \sqrt{6}$ — локальный минимум.

$x = \sqrt{6}$ — локальный минимум

Этап 14.9

Это локальные экстремумы $f (x) = | 6 - x^{2} |$ .

$x = - \sqrt{6}$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = \sqrt{6}$ — локальный минимум

$x = - \sqrt{6}$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = \sqrt{6}$ — локальный минимум

Этап 15