Математический анализ Примеры

$y^{2} - x^{3} = 17$ ; $(2, - 5)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (17)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y^{2} - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 y y' - (3 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 y y' - 3 x^{2}$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- 3 x^{2} + 2 y y'$

Этап 3

Поскольку $17$ является константой относительно $x$ , производная $17$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 3 x^{2} + 2 y y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $3 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 y y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 y y' = 3 x^{2}$ на $2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 y y' = 3 x^{2}$ на $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Этап 7

Заменим $x$ на $2$ и $y$ на $- 5$ в этом выражении.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 {(2)}^{2}}{2 (- 5)}$

Этап 8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель ${(2)}^{2}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $3 {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 (- 5)}$

Этап 8.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 \cdot - 5}$

Этап 8.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot 2}{- 5}$

Этап 8.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{- 5}$

Этап 8.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{5}$