Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x + 10}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 10$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.2

По правилу суммы производная $x + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.4

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.5.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.7.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 (x + 10) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.7.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (x + 10) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.7.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 2 (x + 10))$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Этап 1.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 2 (x + 10)}{x^{3}}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 10}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Умножим $- 2$ на $10$ .

$\frac{x - 2 x - 20}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.2.2

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\frac{- x - 20}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) - 20}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.4

Перепишем $- 20$ в виде $- 1 (20)$ .

$\frac{- (x) - 1 (20)}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (20)$ .

$\frac{- (x + 20)}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.6

Перепишем $- (x + 20)$ в виде $- 1 (x + 20)$ .

$\frac{- 1 (x + 20)}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x + 20}{x^{3}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x + 20}{x^{3}}$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x + 20 = 0$

Этап 2.3

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x = - 20$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- 20$ .

$- 20$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 20}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 20) \cup (- 20, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 20)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 21$ .

$f' (- 21) = - \frac{(- 21) + 20}{{(- 21)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Добавим $- 21$ и $20$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{{(- 21)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 21$ в степень $3$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{- 9261}$

Этап 6.2.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$f' (- 21) = - \frac{1}{9261}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{9261}$ .

$- \frac{1}{9261}$

Этап 6.3

При $x = - 21$ производная имеет вид $- \frac{1}{9261}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 20)$ .

Убывание на $(- \infty, - 20)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 20, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 10$ .

$f' (- 10) = - \frac{(- 10) + 20}{{(- 10)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Добавим $- 10$ и $20$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{{(- 10)}^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 10$ в степень $3$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{- 1000}$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $10$ и $- 1000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $10$ из $10$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 (1)}{- 1000}$

Этап 7.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Вынесем множитель $10$ из $- 1000$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Этап 7.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Этап 7.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (- 10) = - \frac{1}{- 100}$

Этап 7.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 10) = \frac{1}{100}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{100}$ .

$\frac{1}{100}$

Этап 7.3

При $x = - 10$ производная имеет вид $\frac{1}{100}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 20, 0)$ .

Возрастание в области $(- 20, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{(1) + 20}{{(1)}^{3}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $1$ и $20$ .

$f' (1) = - \frac{21}{1^{3}}$

Этап 8.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{21}{1}$

Этап 8.2.3

Разделим $21$ на $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 21$

Этап 8.2.4

Умножим $- 1$ на $21$ .

$f' (1) = - 21$

Этап 8.2.5

Окончательный ответ: $- 21$ .

$- 21$

Этап 8.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- 21$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 20, 0)$

Убывание на: $(- \infty, - 20), (0, \infty)$

Этап 10