Математический анализ Примеры

$s = (t^{4} - 3 t^{3} + 3) (1 - 2 t^{3})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{4} - 3 t^{3} + 3$ и $g (t) = 1 - 2 t^{3}$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) \frac{d}{d t} [1 - 2 t^{3}] + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 - 2 t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2 t^{3}$ по $t$ равна $- 2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 - 2 \frac{d}{d t} [t^{3}]) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 - 2 (3 t^{2})) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 - 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $6 t^{2}$ из $0$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $t^{4} - 3 t^{3} + 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [3])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [3])$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 3 t^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3 t^{3}$ по $t$ равна $- 3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [3])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [3])$

Этап 5.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2} + \frac{d}{d t} [3])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3$ относительно $t$ равна $0$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2} + 0)$

Этап 6.2

Добавим $4 t^{3} - 9 t^{2}$ и $0$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2})$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3}) + (1 - 2 t^{3}) (- 9 t^{2})$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + (1 - 2 t^{3}) (- 9 t^{2})$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $t^{4}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Перенесем $t^{2}$ .

$t^{2} t^{4} \cdot - 6 - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{2 + 4} \cdot - 6 - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.1.3

Добавим $2$ и $4$ .

$t^{6} \cdot - 6 - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.2

Перенесем $- 6$ влево от $t^{6}$ .

$- 6 \cdot t^{6} - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.3

Умножим $- 6$ на $- 3$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{3} t^{2} + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.4

Умножим $t^{3}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.1

Перенесем $t^{2}$ .

$- 6 t^{6} + 18 (t^{2} t^{3}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 t^{6} + 18 t^{2 + 3} + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.4.3

Добавим $2$ и $3$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.5

Умножим $- 6$ на $3$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.6

Умножим $4$ на $1$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.7

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{3} t^{3} + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.8

Умножим $t^{3}$ на $t^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.8.1

Перенесем $t^{3}$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 (t^{3} t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{3 + 3} + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.8.3

Добавим $3$ и $3$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.9

Умножим $- 9$ на $1$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Этап 7.5.10

Умножим $- 9$ на $- 2$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 t^{3} t^{2}$

Этап 7.5.11

Умножим $t^{3}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.11.1

Перенесем $t^{2}$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 (t^{2} t^{3})$

Этап 7.5.11.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 t^{2 + 3}$

Этап 7.5.11.3

Добавим $2$ и $3$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 t^{5}$

Этап 7.5.12

Вычтем $8 t^{6}$ из $- 6 t^{6}$ .

$- 14 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 9 t^{2} + 18 t^{5}$

Этап 7.5.13

Вычтем $9 t^{2}$ из $- 18 t^{2}$ .

$- 14 t^{6} + 18 t^{5} + 4 t^{3} - 27 t^{2} + 18 t^{5}$

Этап 7.5.14

Добавим $18 t^{5}$ и $18 t^{5}$ .

$- 14 t^{6} + 36 t^{5} + 4 t^{3} - 27 t^{2}$