Математический анализ Примеры

$2 x - \frac{2}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x - \frac{2}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 1.1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$2 - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$2 - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 1.1.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 1.1.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 1.1.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 1.1.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Этап 1.1.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 1.1.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$2 - 2 (- 2 x^{- 3})$

Этап 1.1.3.10

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$2 + 4 x^{- 3}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 4 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$2 + \frac{4}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{4}{x^{3}} + 2$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{4}{x^{3}} + 2$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4}{x^{3}} + 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4}{x^{3}} + 2 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{4}{x^{3}} = - 2$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{3}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{3}$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{4}{x^{3}} = - 2$ умножим на $x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{4}{x^{3}} = - 2$ на $x^{3}$ .

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 = - 2 x^{3}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 x^{3} = 4$ .

$- 2 x^{3} = 4$

Этап 2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{3} - 4 = 0$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{3} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 4 = 0$

Этап 2.5.3.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4$ .

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 2 = 0$

Этап 2.5.3.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{3}) - 2 (2)$ .

$- 2 (x^{3} + 2) = 0$

Этап 2.5.4

Разделим каждый член $- 2 (x^{3} + 2) = 0$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Разделим каждый член $- 2 (x^{3} + 2) = 0$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 (x^{3} + 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 2.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 (x^{3} + 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 2.5.4.2.1.2

Разделим $x^{3} + 2$ на $1$ .

$x^{3} + 2 = \frac{0}{- 2}$

Этап 2.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1

Разделим $0$ на $- 2$ .

$x^{3} + 2 = 0$

Этап 2.5.5

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} = - 2$

Этап 2.5.6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{- 2}$

Этап 2.5.7

Упростим $\sqrt[3]{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Перепишем $- 2$ в виде ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (2)}$

Этап 2.5.7.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

Этап 2.5.7.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = - 1 \sqrt[3]{2}$

Этап 2.5.7.3

Перепишем $- 1 \sqrt[3]{2}$ в виде $- \sqrt[3]{2}$ .

$x = - \sqrt[3]{2}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{4}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $2 x - \frac{2}{x^{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \sqrt[3]{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \sqrt[3]{2}$ вместо $x$ .

$2 (- \sqrt[3]{2}) - \frac{2}{{(- \sqrt[3]{2})}^{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{{(- \sqrt[3]{2})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Применим правило умножения к $- \sqrt[3]{2}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{{(- 1)}^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{1 {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2.3

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{1 \sqrt[3]{2^{2}}}$

Этап 4.1.2.1.2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{1 \sqrt[3]{4}}$

Этап 4.1.2.1.2.5

Умножим $\sqrt[3]{4}$ на $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - (\frac{2}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Этап 4.1.2.1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Возведем $\sqrt[3]{4}$ в степень $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Этап 4.1.2.1.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Этап 4.1.2.1.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ в виде $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{3}}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 4.1.2.1.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 4.1.2.1.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 4.1.2.1.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 4.1.2.1.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Этап 4.1.2.1.4.5.5

Найдем экспоненту.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Этап 4.1.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {\sqrt[3]{4}}^{2}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 ({\sqrt[3]{4}}^{2})}{4}$

Этап 4.1.2.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{2}$

Этап 4.1.2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.6.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{2}$

Этап 4.1.2.1.6.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{16}}{2}$

Этап 4.1.2.1.6.3

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.6.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2}$

Этап 4.1.2.1.6.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2}$

Этап 4.1.2.1.6.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2}$

Этап 4.1.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2}$

Этап 4.1.2.1.7.2

Разделим $\sqrt[3]{2}$ на $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $\sqrt[3]{2}$ из $- 2 \sqrt[3]{2}$ .

$- 3 \sqrt[3]{2}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$2 (0) - \frac{2}{{(0)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (0) - \frac{2}{0}$

Этап 4.2.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- \sqrt[3]{2}, - 3 \sqrt[3]{2})$

Этап 5