Математический анализ Примеры

$f (x) = x \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Этап 1.1.3.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 + \ln (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\ln (x) = - 1$

Этап 2.3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Этап 2.4

Перепишем $\ln (x) = - 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Этап 2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Этап 2.5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 3.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 4

Вычислим $x \ln (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{1}{e}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{1}{e}$ вместо $x$ .

$(\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{e}$ в виде $1 e^{- 1}$ .

$\frac{1}{e} \ln (1 e^{- 1})$

Этап 4.1.2.2

Перепишем $\ln (1 e^{- 1})$ в виде $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\frac{1}{e} (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Этап 4.1.2.3

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$\frac{1}{e} (\ln (1) - \ln (e))$

Этап 4.1.2.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{1}{e} (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{e} (\ln (1) - 1)$

Этап 4.1.2.6

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{1}{e} (0 - 1)$

Этап 4.1.2.7

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{1}{e} \cdot - 1$

Этап 4.1.2.8

Объединим $\frac{1}{e}$ и $- 1$ .

$\frac{- 1}{e}$

Этап 4.1.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{e}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$(0) \ln (0)$

Этап 4.2.2

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$

Этап 5