Математический анализ Примеры

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$

Этап 1

Разобьем интеграл в точке $0$ и запишем в виде суммы пределов.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} e^{- x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$

Этап 2

$\int_{t}^{0} e^{- x^{2}} d x$ — особый интеграл. Интеграл соответствует функции ошибок.

$lim_{t \to - \infty} erf (x)]_{t}^{0} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $erf (x)$ в $0$ и в $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (erf (x)) - erf (x) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$

Этап 3.2

Вычтем $erf (x)$ из $erf (x)$ .

$lim_{t \to - \infty} 0 + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$

Этап 4

$\int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$ — особый интеграл. Интеграл соответствует функции ошибок.

$lim_{t \to - \infty} 0 + lim_{t \to \infty} erf (x)]_{0}^{t}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $erf (x)$ в $t$ и в $0$ .

$lim_{t \to - \infty} 0 + lim_{t \to \infty} (erf (x)) - erf (x)$

Этап 5.2

Вычтем $erf (x)$ из $erf (x)$ .

$lim_{t \to - \infty} 0 + lim_{t \to \infty} 0$

Этап 6

Вычислим пределы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $0$ , который является константой по мере приближения $t$ к $- \infty$ .

$0 + lim_{t \to \infty} 0$

Этап 6.2

Найдем предел $0$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$0 + 0$

Этап 6.3

Добавим $0$ и $0$ .

$0$