Математический анализ Примеры

$\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 x^{2} - 13 x + 4 = 0$

$3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ , а сумма — $b = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 13$ из $- 13 x$ .

$3 x^{2} - 13 x + 4 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $- 13$ как $- 1$ плюс $- 12$

$3 x^{2} + (- 1 - 12) x + 4 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 1 x - 12 x + 4 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 1 x) - 12 x + 4 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 1) - 4 (3 x - 1) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 1) (x - 4) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, 4$

Этап 7

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 27 x + 54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 27 x + 54 = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 27 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 9 x) + 54 = 0$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$3 x^{2} + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Этап 7.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 9 x)$ .

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Этап 7.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18$ .

$3 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Этап 7.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разложим $x^{2} - 9 x + 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $18$ , а сумма — $- 9$ .

$- 6, - 3$

Этап 7.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$3 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Этап 7.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (x - 6) (x - 3) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 9

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 9.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 10

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 10.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (x - 6) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 6, 3$

Этап 12

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{1}{3}, 4$

$x = 6, 3$

Этап 13

Объединим решения.

$x = \frac{1}{3}, 4, 6, 3$

Этап 14

Найдем область определения $\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$

Этап 14.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 27 x + 54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 27 x + 54 = 0$

Этап 14.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 27 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 9 x) + 54 = 0$

Этап 14.2.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$3 x^{2} + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Этап 14.2.1.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 9 x)$ .

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Этап 14.2.1.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18$ .

$3 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Этап 14.2.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.2.1

Разложим $x^{2} - 9 x + 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.2.1.1

$- 6, - 3$

Этап 14.2.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$3 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Этап 14.2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (x - 6) (x - 3) = 0$

Этап 14.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 14.2.3

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 14.2.3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 14.2.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 14.2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 14.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (x - 6) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 6, 3$

Этап 14.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

Этап 15

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Этап 16

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 16.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 + 4}{3 {(0)}^{2} - 27 \cdot 0 + 54} \leq 0$

Этап 16.1.3

Левая часть $0.\overline{074}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 16.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{3} < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{3} < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 16.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 {(2)}^{2} - 13 \cdot 2 + 4}{3 {(2)}^{2} - 27 \cdot 2 + 54} \leq 0$

Этап 16.2.3

Левая часть $- 0.8\overline{3}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 16.3

Проверим значение на интервале $3 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3.5$

Этап 16.3.2

Заменим $x$ на $3.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 {(3.5)}^{2} - 13 \cdot 3.5 + 4}{3 {(3.5)}^{2} - 27 \cdot 3.5 + 54} \leq 0$

Этап 16.3.3

Левая часть $1.2\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 16.4

Проверим значение на интервале $4 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Выберем значение на интервале $4 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 16.4.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 {(5)}^{2} - 13 \cdot 5 + 4}{3 {(5)}^{2} - 27 \cdot 5 + 54} \leq 0$

Этап 16.4.3

Левая часть $- 2.\overline{3}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 16.5

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 16.5.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 {(8)}^{2} - 13 \cdot 8 + 4}{3 {(8)}^{2} - 27 \cdot 8 + 54} \leq 0$

Этап 16.5.3

Левая часть $3.0\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 16.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{3}$ Ложь

$\frac{1}{3} < x < 3$ Истина

$3 < x < 4$ Ложь

$4 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < \frac{1}{3}$ Ложь

$\frac{1}{3} < x < 3$ Истина

$3 < x < 4$ Ложь

$4 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 17

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{3} \leq x < 3$ или $4 \leq x < 6$

Этап 18

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[\frac{1}{3}, 3) \cup [4, 6)$

Этап 19