Математический анализ Примеры

$y = x - x^{2}$ , $y = 0$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = - x^{2} + x$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(- x^{2} + x)}^{2}$ в виде $(- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$ .

$V = (- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$

Этап 2.2

Развернем $(- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - x^{2} (- x^{2} + x) + x (- x^{2} + x)$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2} + x)$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Этап 2.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Этап 2.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Этап 2.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Этап 2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Этап 2.3.1.4

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Этап 2.3.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$V = x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$V = x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Этап 2.3.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = x^{4} - x^{1 + 2} + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Этап 2.3.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$V = x^{4} - x^{3} + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Этап 2.3.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = x^{4} - x^{3} - x \cdot x^{2} + x \cdot x$

Этап 2.3.1.7

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$V = x^{4} - x^{3} - (x^{2} x) + x \cdot x$

Этап 2.3.1.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$V = x^{4} - x^{3} - (x^{2} x) + x \cdot x$

Этап 2.3.1.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = x^{4} - x^{3} - x^{2 + 1} + x \cdot x$

Этап 2.3.1.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$V = x^{4} - x^{3} - x^{3} + x \cdot x$

Этап 2.3.1.8

Умножим $x$ на $x$ .

$V = x^{4} - x^{3} - x^{3} + x^{2}$

Этап 2.3.2

Вычтем $x^{3}$ из $- x^{3}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{1} x^{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}$ и $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

Этап 10.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

Этап 10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{1^{3}}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{1}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.3

Чтобы записать $\frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.4

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.5.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{3}{5 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.5.2

Умножим $5$ на $3$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.5.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{5}{3 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.5.4

Умножим $3$ на $5$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{5}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{3 + 5}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.7

Добавим $3$ и $5$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.9.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 (0)}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0}{1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.12

Добавим $0$ и $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 0 - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} + 0 - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.14

Добавим $\frac{8}{15}$ и $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.15

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 10.2.3.16

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}))$

Этап 10.2.3.17

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.17.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}))$

Этап 10.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Этап 10.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Этап 10.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}))$

Этап 10.2.3.17.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - 0))$

Этап 10.2.3.18

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} + 0))$

Этап 10.2.3.19

Добавим $\frac{1}{4}$ и $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4}))$

Этап 10.2.3.20

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{- 2}{4})$

Этап 10.2.3.21

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.21.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 (- 1)}{4})$

Этап 10.2.3.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.21.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2})$

Этап 10.2.3.21.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2})$

Этап 10.2.3.21.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{- 1}{2})$

Этап 10.2.3.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (\frac{8}{15} - \frac{1}{2})$

Этап 10.2.3.23

Чтобы записать $\frac{8}{15}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{8}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 10.2.3.24

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{15}{15}$ .

$V = π (\frac{8}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

Этап 10.2.3.25

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $30$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.25.1

Умножим $\frac{8}{15}$ на $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

Этап 10.2.3.25.2

Умножим $15$ на $2$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

Этап 10.2.3.25.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{15}{15}$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{15}{2 \cdot 15})$

Этап 10.2.3.25.4

Умножим $2$ на $15$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{15}{30})$

Этап 10.2.3.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{8 \cdot 2 - 15}{30})$

Этап 10.2.3.27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.27.1

Умножим $8$ на $2$ .

$V = π (\frac{16 - 15}{30})$

Этап 10.2.3.27.2

Вычтем $15$ из $16$ .

$V = π (\frac{1}{30})$

Этап 10.2.3.28

Объединим $π$ и $\frac{1}{30}$ .

$V = \frac{π}{30}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{π}{30}$

Десятичная форма:

$V = 0.10471975 \dots$

Этап 12