Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{x - 1}$ , $y = 0$ , $x = 5$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = \sqrt{x - 1}$

Этап 2

Перепишем ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ в виде $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

$V = x - 1$

Этап 2.5

Упростим.

$V = x - 1$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5} + - x]_{1}^{5})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}$ и $- x]_{1}^{5}$ .

$V = π \frac{x^{2}}{2} - x]_{1}^{5}$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2} - x$ в $5$ и в $1$ .

$V = π ((\frac{5^{2}}{2} - 1 \cdot 5) - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Этап 7.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 1 \cdot 5 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Этап 7.2.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 5 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Этап 7.2.2.3

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Этап 7.2.2.4

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Этап 7.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{25 - 5 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Этап 7.2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.6.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$V = π (\frac{25 - 10}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Этап 7.2.2.6.2

Вычтем $10$ из $25$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Этап 7.2.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1))$

Этап 7.2.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1))$

Этап 7.2.2.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

Этап 7.2.2.10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

Этап 7.2.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

Этап 7.2.2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{1 - 2}{2})$

Этап 7.2.2.12.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{- 1}{2})$

Этап 7.2.2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (\frac{15}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 7.2.2.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = π (\frac{15}{2} + 1 (\frac{1}{2}))$

Этап 7.2.2.15

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 7.2.2.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{15 + 1}{2})$

Этап 7.2.2.17

Добавим $15$ и $1$ .

$V = π (\frac{16}{2})$

Этап 7.2.2.18

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.18.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2})$

Этап 7.2.2.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Этап 7.2.2.18.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Этап 7.2.2.18.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{8}{1})$

Этап 7.2.2.18.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$V = π \cdot 8$

Этап 7.2.2.19

Перенесем $8$ влево от $π$ .

$V = 8 π$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = 8 π$

Десятичная форма:

$V = 25.13274122 \dots$

Этап 9