Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $a = 64$

Этап 1

Рассмотрим функцию, используемую для нахождения линеаризации в $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Этап 2

Подставим значение $a = 64$ в функцию линеаризации.

$L (x) = f (64) + f' (64) (x - 64)$

Этап 3

Найдем значение $f (64)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $64$ .

$f (64) = {(64)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2

Упростим ${(64)}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Избавимся от скобок.

${(64)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

${(4^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$4^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$4^{2}$

Этап 3.2.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$16$

Этап 4

Найдем производную и ее значение при $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем производную $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 4.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Этап 4.1.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Этап 4.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.7.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $64$ .

$\frac{2}{3 {(64)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(4^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 4^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 4.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3 \cdot 4^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 4.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3 \cdot 4^{1}}$

Этап 4.3.1.4

Найдем экспоненту.

$\frac{2}{3 \cdot 4}$

Этап 4.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{2}{12}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{12}$

Этап 4.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Этап 4.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Этап 4.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6}$

Этап 5

Подставим компоненты в функцию линеаризации, чтобы найти линеаризацию в $a$ .

$L (x) = 16 + \frac{1}{6} (x - 64)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$L (x) = 16 + \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Этап 6.1.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x$ .

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2 (3)} \cdot - 64$

Этап 6.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 64$ .

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Этап 6.1.3.3

Сократим общий множитель.

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Этап 6.1.3.4

Перепишем это выражение.

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3} \cdot - 32$

Этап 6.1.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 32$ .

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{- 32}{3}$

Этап 6.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} - \frac{32}{3}$

Этап 6.2

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + 16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3}$

Этап 6.3

Объединим $16$ и $\frac{3}{3}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{32}{3}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{16 \cdot 3 - 32}{3}$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $16$ на $3$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{48 - 32}{3}$

Этап 6.5.2

Вычтем $32$ из $48$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{16}{3}$

Этап 7