Математический анализ Примеры

$y = \frac{x}{(1 + x^{2})}$ , $(3, 0.3)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = 0.3$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.2

Умножим $1 + x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.8

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.9

Найдем производную в $x = 3$ .

$\frac{- {(3)}^{2} + 1}{{({(3)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 9 + 1}{{(3^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.10.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{- 9 + 1}{{(3^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.10.1.3

Добавим $- 9$ и $1$ .

$\frac{- 8}{{(3^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{- 8}{{(9 + 1)}^{2}}$

Этап 1.10.2.2

Добавим $9$ и $1$ .

$\frac{- 8}{10^{2}}$

Этап 1.10.2.3

Возведем $10$ в степень $2$ .

$\frac{- 8}{100}$

Этап 1.10.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$\frac{4 (- 2)}{100}$

Этап 1.10.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $100$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 25}$

Этап 1.10.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 25}$

Этап 1.10.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{25}$

Этап 1.10.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{25}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{2}{25}$ и координаты заданной точки $(3, 0.3)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0.3) = - \frac{2}{25} \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 0.3 = - \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 0.3 = 0 + 0 - \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 0.3 = - \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 0.3 = - \frac{2}{25} x - \frac{2}{25} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{2}{25}$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} - \frac{2}{25} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- \frac{2}{25} \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} + 3 (\frac{2}{25})$

Этап 2.3.1.5.2

Объединим $3$ и $\frac{2}{25}$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{3 \cdot 2}{25}$

Этап 2.3.1.5.3

Умножим $3$ на $2$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{6}{25}$

Этап 2.3.1.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y - 0.3 = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $0.3$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25} + 0.3$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $0.3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25} + 0.3 \cdot \frac{25}{25}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $0.3$ и $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25} + \frac{0.3 \cdot 25}{25}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6 + 0.3 \cdot 25}{25}$

Этап 2.3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 2 x + 6 + 0.3 \cdot 25}{25}$

Этап 2.3.2.6

Умножим $0.3$ на $25$ .

$y = \frac{- 2 x + 6 + 7.5}{25}$

Этап 2.3.2.7

Добавим $6$ и $7.5$ .

$y = \frac{- 2 x + 13.5}{25}$

Этап 2.3.2.8

Вынесем множитель $0.5$ из $- 2 x + 13.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.8.1

Вынесем множитель $0.5$ из $- 2 x$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x) + 13.5}{25}$

Этап 2.3.2.8.2

Вынесем множитель $0.5$ из $13.5$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x) + 0.5 (27)}{25}$

Этап 2.3.2.8.3

Вынесем множитель $0.5$ из $0.5 (- 4 x) + 0.5 (27)$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x + 27)}{25}$

Этап 2.3.2.9

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x + 27)}{25 (1)}$

Этап 2.3.2.10

Разделим дроби.

$y = \frac{0.5}{25} \cdot \frac{- 4 x + 27}{1}$

Этап 2.3.2.11

Разделим $0.5$ на $25$ .

$y = 0.02 \frac{- 4 x + 27}{1}$

Этап 2.3.2.12

Сократим общий множитель $0.02$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.12.1

Вынесем множитель $0.02$ из $1$ .

$y = 0.02 \frac{- 4 x + 27}{0.02 \cdot 50}$

Этап 2.3.2.12.2

Сократим общий множитель.

$y = 0.02 \frac{- 4 x + 27}{0.02 \cdot 50}$

Этап 2.3.2.12.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- 4 x + 27}{50}$

Этап 2.3.2.13

Разобьем дробь $\frac{- 4 x + 27}{50}$ на две дроби.

$y = \frac{- 4 x}{50} + \frac{27}{50}$

Этап 2.3.2.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.14.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.14.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{2 (- 2 x)}{50} + \frac{27}{50}$

Этап 2.3.2.14.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.14.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$y = \frac{2 (- 2 x)}{2 (25)} + \frac{27}{50}$

Этап 2.3.2.14.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 25} + \frac{27}{50}$

Этап 2.3.2.14.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- 2 x}{25} + \frac{27}{50}$

Этап 2.3.2.14.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{27}{50}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{2}{25} x) + \frac{27}{50}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{2}{25} x + \frac{27}{50}$

Этап 3