Математический анализ Примеры

$16 x^{3} - 9 \sqrt{x} + 12 x + 11$

Этап 1

Запишем $16 x^{3} - 9 \sqrt{x} + 12 x + 11$ в виде функции.

$f (x) = 16 x^{3} - 9 \sqrt{x} + 12 x + 11$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 16 x^{3} - 9 \sqrt{x} + 12 x + 11 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 16 x^{3} d x + \int - 9 \sqrt{x} d x + \int 12 x d x + \int 11 d x$

Этап 5

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$16 \int x^{3} d x + \int - 9 \sqrt{x} d x + \int 12 x d x + \int 11 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 9 \sqrt{x} d x + \int 12 x d x + \int 11 d x$

Этап 7

Поскольку $- 9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 9$ из-под знака интеграла.

$16 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 \int \sqrt{x} d x + \int 12 x d x + \int 11 d x$

Этап 8

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 12 x d x + \int 11 d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$16 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 12 x d x + \int 11 d x$

Этап 10

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$16 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 12 \int x d x + \int 11 d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$16 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 11 d x$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$16 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 11 x + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$16 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 9 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 11 x + C$

Этап 13.1.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$16 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 9 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 11 x + C$

Этап 13.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$16 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 9 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C$

Этап 13.2

Упростим.

$4 x^{4} - 6 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{2} + 11 x + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 16 x^{3} - 9 \sqrt{x} + 12 x + 11$ .

$F (x) =$ $4 x^{4} - 6 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{2} + 11 x + C$