Математический анализ Примеры

$y = (x^{2} - 120) e^{x}$

Этап 1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$

Этап 2

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 120$ является константой относительно $x$ , производная $- 120 e^{x}$ по $x$ равна $- 120 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 120 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.3.2

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 120 e^{x}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 120 e^{x}$

Этап 3.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 120 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 120 e^{x} = 0$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $2 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 120 e^{x} = 0$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- 120 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 120 = 0$

Этап 4.1.1.4

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 120 = 0$

Этап 4.1.1.5

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 120$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 120) = 0$

Этап 4.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 120$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 120$ , а сумма — $2$ .

$- 10, 12$

Этап 4.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$e^{x} ((x - 10) (x + 12)) = 0$

Этап 4.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$e^{x} (x - 10) (x + 12) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 12 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 4.3.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 4.3.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 4.3.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 4.4

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 4.5

Приравняем $x + 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x + 12$ к $0$ .

$x + 12 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$x = - 12$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (x - 10) (x + 12) = 0$ верно.

$x = 10, - 12$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ в точке $x = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10$ .

$f (10) = {(10)}^{2} e^{10} - 120 e^{10}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$f (10) = 100 e^{10} - 120 e^{10}$

Этап 5.2.2

Вычтем $120 e^{10}$ из $100 e^{10}$ .

$f (10) = - 20 e^{10}$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 20 e^{10}$ .

$- 20 e^{10}$

Этап 6

Решим исходную функцию $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ в точке $x = - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 12$ .

$f (- 12) = {(- 12)}^{2} e^{- 12} - 120 e^{- 12}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$f (- 12) = 144 e^{- 12} - 120 e^{- 12}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 12) = 144 (\frac{1}{e^{12}}) - 120 e^{- 12}$

Этап 6.2.1.3

Объединим $144$ и $\frac{1}{e^{12}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - 120 e^{- 12}$

Этап 6.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - 120 \frac{1}{e^{12}}$

Этап 6.2.1.5

Объединим $- 120$ и $\frac{1}{e^{12}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} + \frac{- 120}{e^{12}}$

Этап 6.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - \frac{120}{e^{12}}$

Этап 6.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 12) = \frac{144 - 120}{e^{12}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $120$ из $144$ .

$f (- 12) = \frac{24}{e^{12}}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $\frac{24}{e^{12}}$ .

$\frac{24}{e^{12}}$

Этап 7

Горизонтальные касательные функции $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ ― $y = - 20 e^{10}, y = \frac{24}{e^{12}}$ .

$y = - 20 e^{10}, y = \frac{24}{e^{12}}$

Этап 8