Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 81$ .

$\frac{(x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 81) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 81$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 81) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 81$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $81$ является константой относительно $x$ , производная $81$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.2

Умножим $2$ на $81$ .

$\frac{2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{162 x + 0}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.2.2

Добавим $162 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ .

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$162 x = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $162 x = 0$ на $162$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $162 x = 0$ на $162$ .

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $162$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{162}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $162$ .

$x = 0$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{162 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $162$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{(1 + 81)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $1$ и $81$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{82^{2}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $82$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{6724}$

Этап 5.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 162$ и $6724$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 162$ .

$f' (- 1) = \frac{2 (- 81)}{6724}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6724$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

Этап 5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (- 1) = \frac{- 81}{3362}$

Этап 5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 1) = - \frac{81}{3362}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{81}{3362}$ .

$- \frac{81}{3362}$

Этап 5.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- \frac{81}{3362}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{162 (1)}{{({(1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $162$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{162}{{(1^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{162}{{(1 + 81)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $1$ и $81$ .

$f' (1) = \frac{162}{82^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $82$ в степень $2$ .

$f' (1) = \frac{162}{6724}$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $162$ и $6724$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $162$ .

$f' (1) = \frac{2 (81)}{6724}$

Этап 6.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6724$ .

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

Этап 6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (1) = \frac{81}{3362}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{81}{3362}$ .

$\frac{81}{3362}$

Этап 6.3

При $x = 1$ производная имеет вид $\frac{81}{3362}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 0)$

Этап 8