Математический анализ Примеры

$y = \ln (\sec (2 x) + \tan (2 x))$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sec (2 x) + \tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (2 x) + \tan (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (2 x) + \tan (2 x)$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $\sec (2 x) + \tan (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (\frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])$

Этап 1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])$

Этап 1.3.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])$

Этап 1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])$

Этап 1.4.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])$

Этап 1.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.5.2

Производная $\tan (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.5.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 1.6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2)$

Этап 1.6.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \cdot \sec^{2} (2 x))$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x))$ .

$(2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)) \frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} + 2 \sec^{2} (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.7.3

Умножим $2 \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Объединим $\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$ и $2$ .

$\frac{2}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.7.3.2

Объединим $\frac{2}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$ и $\sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x)}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.7.3.3

Объединим $\frac{2 \sec (2 x)}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$ и $\tan (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} + 2 \sec^{2} (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.7.4

Умножим $2 \sec^{2} (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Объединим $\frac{1}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$ и $2$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} + \frac{2}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} \sec^{2} (2 x)$

Этап 1.7.4.2

Объединим $\frac{2}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$ и $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + \tan (2 x)} + \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.7.6

Вынесем множитель $2 \sec (2 x)$ из $2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Вынесем множитель $2 \sec (2 x)$ из $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec^{2} (2 x)}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.7.6.2

Вынесем множитель $2 \sec (2 x)$ из $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\sec (2 x))}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.7.6.3

Вынесем множитель $2 \sec (2 x)$ из $2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\sec (2 x))$ .

$f' (x) = \frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x))}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x))}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{\sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x))}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x))}{\sec (2 x) + \tan (2 x)}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x))$ и $g (x) = \sec (2 x) + \tan (2 x)$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x))] - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (2 x)$ и $g (x) = \tan (2 x) + \sec (2 x)$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x) + \sec (2 x)] + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $\tan (2 x) + \sec (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (\frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.5.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.6.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x)$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.7.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.8.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.9.2

Производная $\sec (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.9.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.10.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.10.3.2

Перенесем $2$ влево от $(\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 \cdot ((\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x))) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + \tan (2 x)]}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.10.4

По правилу суммы производная $\sec (2 x) + \tan (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (\frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.11

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $2 x$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\sec (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.11.2

Производная $\sec (u_{4})$ по $u_{4}$ равна $\sec (u_{4}) \tan (u_{4})$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (\sec (u_{4}) \tan (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.11.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $2 x$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.12

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.12.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.12.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.12.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.13

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{5}$ как $2 x$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + \frac{d}{d u_{5}} [\tan (u_{5})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.13.2

Производная $\tan (u_{5})$ по $u_{5}$ равна $\sec^{2} (u_{5})$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (u_{5}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.13.3

Заменим все вхождения $u_{5}$ на $2 x$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.14

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.14.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.14.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2)}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.14.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x)$ .

$2 \frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \cdot \sec^{2} (2 x))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.14.3.3

Объединим $2$ и $\frac{(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$ .

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) + \sec (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (\tan (2 x) + \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) + \sec (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + (2 \tan (2 x) + 2 \sec (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) + \sec (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + (2 \tan (2 x) \sec (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) + \sec (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) (\tan (2 x) + \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) + \sec (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)) + (- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (\sec (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) + \sec (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec (2 x) \sec^{2} (2 x) + \sec (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.2

Умножим $\sec (2 x)$ на $\sec^{2} (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.1.2.1

Перенесем $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 (\sec^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.2.2

Умножим $\sec^{2} (2 x)$ на $\sec (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.1.2.2.1

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x)) + \sec (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 {\sec (2 x)}^{2 + 1} + \sec (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + \sec (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.4

Умножим $2 \sec (2 x) \sec (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.1.4.1

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 2 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.4.2

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 2 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.5

Умножим $2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.1.5.1

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.5.2

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.6

Умножим $2 \sec (2 x) \sec (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.1.6.1

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 2 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.6.2

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 2 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.1.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.2

Добавим $2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$ и $2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 ((\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.3

Развернем $(\sec (2 x) + \tan (2 x)) (2 \sec^{3} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{2 (\sec (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \sec (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (2 \sec (2 x) \sec^{3} (2 x) + \sec (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.2

Умножим $\sec (2 x)$ на $\sec^{3} (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.4.2.1

Перенесем $\sec^{3} (2 x)$ .

$\frac{2 (2 (\sec^{3} (2 x) \sec (2 x)) + \sec (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.2.2

Умножим $\sec^{3} (2 x)$ на $\sec (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.4.2.2.1

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (2 (\sec^{3} (2 x) \sec^{1} (2 x)) + \sec (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (2 {\sec (2 x)}^{3 + 1} + \sec (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + \sec (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec (2 x) \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.4

Умножим $\sec (2 x)$ на $\sec^{2} (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.4.4.1

Перенесем $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 (\sec^{2} (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.4.2

Умножим $\sec^{2} (2 x)$ на $\sec (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.4.4.2.1

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 {\sec (2 x)}^{2 + 1} \tan (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.6

Умножим $2 \sec (2 x) \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.4.6.1

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \tan^{2} (2 x) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.6.2

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan^{2} (2 x) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \tan^{2} (2 x) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + \tan (2 x) (2 \sec^{3} (2 x)) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.9

Умножим $4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.4.9.1

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x) + 4 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.9.2

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x) + 4 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.9.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x) + 4 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.9.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + 2 \tan (2 x) \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.11

Умножим $\tan (2 x)$ на $\tan^{2} (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.4.11.1

Перенесем $\tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + 2 (\tan^{2} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x)) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.11.2

Умножим $\tan^{2} (2 x)$ на $\tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.4.11.2.1

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + 2 (\tan^{2} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x)) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{2 + 1} \sec (2 x)) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.4.11.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + 2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.5

Изменим порядок множителей в $2 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + 2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.6

Добавим $4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ и $2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + 2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.7

Изменим порядок множителей в $4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.8

Добавим $2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ и $4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 \sec^{4} (2 x)) + 2 (6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)) + 2 (6 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 2 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.10.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 2 (6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)) + 2 (6 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 2 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.10.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 (\sec^{3} (2 x) \tan (2 x)) + 2 (6 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 2 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.10.3

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 (\sec^{3} (2 x) \tan (2 x)) + 12 (\sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 2 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.10.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 (\sec^{3} (2 x) \tan (2 x)) + 12 (\sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 4 (\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.11

Избавимся от скобок.

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \sec (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.12

Умножим $- \sec (2 x) \sec (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.12.1

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x))) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.12.2

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x))) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.12.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - {\sec (2 x)}^{1 + 1}) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.12.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 ((- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec^{2} (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.13

Развернем $(- \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec^{2} (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.14.1.1

Умножим $- \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.14.1.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.1.2

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.1.3

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.1.6

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.1.7

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) - \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) {\tan (2 x)}^{1 + 1} - \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.2

Умножим $\sec (2 x)$ на $\sec^{2} (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.14.1.2.1

Перенесем $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - (\sec^{2} (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x) \cdot 2 - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.2.2

Умножим $\sec^{2} (2 x)$ на $\sec (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.14.1.2.2.1

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x) \cdot 2 - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - {\sec (2 x)}^{2 + 1} \tan (2 x) \cdot 2 - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.4

Умножим $\sec^{2} (2 x)$ на $\sec (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.14.1.4.1

Перенесем $\sec (2 x)$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) (2 \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.4.2

Умножим $\sec (2 x)$ на $\sec^{2} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.14.1.4.2.1

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) (2 \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - {\sec (2 x)}^{1 + 2} (2 \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - \sec^{3} (2 x) (2 \tan (2 x)) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - \sec^{2} (2 x) (2 \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - 1 \cdot 2 \sec^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.7

Умножим $\sec^{2} (2 x)$ на $\sec^{2} (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.14.1.7.1

Перенесем $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - 1 \cdot 2 (\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - 1 \cdot 2 {\sec (2 x)}^{2 + 2})}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.7.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - 1 \cdot 2 \sec^{4} (2 x))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.1.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.14.2

Вычтем $2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ из $- 2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.15

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 2 (- 2 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 2 (- 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)) + 2 (- 2 \sec^{4} (2 x))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1.16.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) - 4 (\sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) + 2 (- 4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)) + 2 (- 2 \sec^{4} (2 x))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.16.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) - 4 (\sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) - 8 (\sec^{3} (2 x) \tan (2 x)) + 2 (- 2 \sec^{4} (2 x))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.16.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) - 4 (\sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)) - 8 (\sec^{3} (2 x) \tan (2 x)) - 4 \sec^{4} (2 x)}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.1.17

Избавимся от скобок.

$\frac{4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) - 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 8 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.2

Объединим противоположные члены в $4 \sec^{4} (2 x) + 12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) - 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 8 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.2.1

Вычтем $4 \sec^{4} (2 x)$ из $4 \sec^{4} (2 x)$ .

$\frac{12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) - 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 8 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 0}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.2.2

Добавим $12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) - 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 8 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ и $0$ .

$\frac{12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) - 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 8 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.3

Вычтем $8 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ из $12 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) - 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.7.4

Вычтем $4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ из $12 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.8.1

Вынесем множитель $4 \sec (2 x) \tan (2 x)$ из $4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.8.1.1

Вынесем множитель $4 \sec (2 x) \tan (2 x)$ из $4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{4 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x)) + 8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.8.1.2

Вынесем множитель $4 \sec (2 x) \tan (2 x)$ из $8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{4 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x)) + 4 \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.8.1.3

Вынесем множитель $4 \sec (2 x) \tan (2 x)$ из $4 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)$ .

$\frac{4 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x)) + 4 \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 4 \sec (2 x) \tan (2 x) (\tan^{2} (2 x))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.8.1.4

Вынесем множитель $4 \sec (2 x) \tan (2 x)$ из $4 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x)) + 4 \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x))$ .

$\frac{4 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 4 \sec (2 x) \tan (2 x) (\tan^{2} (2 x))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.8.1.5

Вынесем множитель $4 \sec (2 x) \tan (2 x)$ из $4 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x)) + 4 \sec (2 x) \tan (2 x) (\tan^{2} (2 x))$ .

$\frac{4 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) + 2 \sec (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.8.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.8.2.1

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) = 2 \cdot \sec (2 x) \cdot \tan (2 x)$

Этап 2.15.8.2.2

Перепишем многочлен.

$\frac{4 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) + 2 \cdot \sec (2 x) \cdot \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x))}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.8.2.3

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = \sec (2 x)$ и $b = \tan (2 x)$ .

$\frac{4 \sec (2 x) \tan (2 x) {(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.9

Сократим общий множитель ${(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sec (2 x) \tan (2 x) {(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}{{(\sec (2 x) + \tan (2 x))}^{2}}$

Этап 2.15.9.2

Разделим $4 \sec (2 x) \tan (2 x)$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 \sec (2 x) \tan (2 x)$