Математический анализ Примеры

$\sum_{m = 1}^{4} {(3 - m)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(3 - m)}^{2}$ в виде $(3 - m) (3 - m)$ .

$(3 - m) (3 - m)$

Этап 1.2

Развернем $(3 - m) (3 - m)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (3 - m) - m (3 - m)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 3 + 3 (- m) - m (3 - m)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 3 + 3 (- m) - m \cdot 3 - m (- m)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$9 + 3 (- m) - m \cdot 3 - m (- m)$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$9 - 3 m - m \cdot 3 - m (- m)$

Этап 1.3.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$9 - 3 m - 3 m - m (- m)$

Этап 1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 - 3 m - 3 m - 1 \cdot - 1 m \cdot m$

Этап 1.3.1.5

Умножим $m$ на $m$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.5.1

Перенесем $m$ .

$9 - 3 m - 3 m - 1 \cdot - 1 (m \cdot m)$

Этап 1.3.1.5.2

Умножим $m$ на $m$ .

$9 - 3 m - 3 m - 1 \cdot - 1 m^{2}$

Этап 1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$9 - 3 m - 3 m + 1 m^{2}$

Этап 1.3.1.7

Умножим $m^{2}$ на $1$ .

$9 - 3 m - 3 m + m^{2}$

Этап 1.3.2

Вычтем $3 m$ из $- 3 m$ .

$9 - 6 m + m^{2}$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{m = 1}^{4} 9 - 6 m + m^{2}$

Этап 2

Развернем ряд для каждого значения $m$ .

$9 - 6 \cdot 1 + 1^{2} + 9 - 6 \cdot 2 + 2^{2} + 9 - 6 \cdot 3 + 3^{2} + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 6$ на $1$ .

$9 - 6 + 1^{2} + 9 - 6 \cdot 2 + 2^{2} + 9 - 6 \cdot 3 + 3^{2} + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.2

Вычтем $6$ из $9$ .

$3 + 1^{2} + 9 - 6 \cdot 2 + 2^{2} + 9 - 6 \cdot 3 + 3^{2} + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$3 + 1 + 9 - 6 \cdot 2 + 2^{2} + 9 - 6 \cdot 3 + 3^{2} + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.4

Добавим $3$ и $1$ .

$4 + 9 - 6 \cdot 2 + 2^{2} + 9 - 6 \cdot 3 + 3^{2} + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.5

Умножим $- 6$ на $2$ .

$4 + 9 - 12 + 2^{2} + 9 - 6 \cdot 3 + 3^{2} + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.6

Вычтем $12$ из $9$ .

$4 - 3 + 2^{2} + 9 - 6 \cdot 3 + 3^{2} + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 - 3 + 4 + 9 - 6 \cdot 3 + 3^{2} + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.8

Добавим $- 3$ и $4$ .

$4 + 1 + 9 - 6 \cdot 3 + 3^{2} + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.9

Добавим $4$ и $1$ .

$5 + 9 - 6 \cdot 3 + 3^{2} + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.10

Умножим $- 6$ на $3$ .

$5 + 9 - 18 + 3^{2} + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.11

Вычтем $18$ из $9$ .

$5 - 9 + 3^{2} + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.12

Возведем $3$ в степень $2$ .

$5 - 9 + 9 + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.13

Добавим $- 9$ и $9$ .

$5 + 0 + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.14

Добавим $5$ и $0$ .

$5 + 9 - 6 \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.15

Умножим $- 6$ на $4$ .

$5 + 9 - 24 + 4^{2}$

Этап 3.16

Вычтем $24$ из $9$ .

$5 - 15 + 4^{2}$

Этап 3.17

Возведем $4$ в степень $2$ .

$5 - 15 + 16$

Этап 3.18

Добавим $- 15$ и $16$ .

$5 + 1$

Этап 3.19

Добавим $5$ и $1$ .

$6$