Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $a = 8$

Этап 1

Рассмотрим функцию, используемую для нахождения линеаризации в $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Этап 2

Подставим значение $a = 8$ в функцию линеаризации.

$L (x) = f (8) + f' (8) (x - 8)$

Этап 3

Найдем значение $f (8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = {(8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2

Упростим ${(8)}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Избавимся от скобок.

${(8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

${(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$2^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$2^{2}$

Этап 3.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4$

Этап 4

Найдем производную и ее значение при $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем производную $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 4.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Этап 4.1.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Этап 4.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.7.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$\frac{2}{3 {(8)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 4.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 4.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{1}}$

Этап 4.3.1.4

Найдем экспоненту.

$\frac{2}{3 \cdot 2}$

Этап 4.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2}{6}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Этап 4.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3}$

Этап 5

Подставим компоненты в функцию линеаризации, чтобы найти линеаризацию в $a$ .

$L (x) = 4 + \frac{1}{3} (x - 8)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$L (x) = 4 + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 8$

Этап 6.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$L (x) = 4 + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 8$

Этап 6.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 8$ .

$L (x) = 4 + \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Этап 6.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$L (x) = 4 + \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 6.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$L (x) = \frac{x}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 6.3

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$L (x) = \frac{x}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$L (x) = \frac{x}{3} + \frac{4 \cdot 3 - 8}{3}$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $4$ на $3$ .

$L (x) = \frac{x}{3} + \frac{12 - 8}{3}$

Этап 6.5.2

Вычтем $8$ из $12$ .

$L (x) = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 7