Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - 2^{x}$ , $(3, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 2^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$2 x - 2^{x} \ln (2)$

Этап 1.3

Изменим порядок членов.

$- 2^{x} \ln (2) + 2 x$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 3$ .

$- 2^{3} \ln (2) + 2 (3)$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 8 \ln (2) + 2 (3)$

Этап 1.5.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 \ln (2) + 2 (3)$

Этап 1.5.3

Упростим $- 8 \ln (2)$ путем переноса $8$ под логарифм.

$- \ln (2^{8}) + 2 (3)$

Этап 1.5.4

Возведем $2$ в степень $8$ .

$- \ln (256) + 2 (3)$

Этап 1.5.5

Умножим $2$ на $3$ .

$- \ln (256) + 6$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \ln (256) + 6$ и координаты заданной точки $(3, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $(- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.3

Развернем $(- \ln (256) + 6) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \ln (256) (x - 3) + 6 (x - 3)$

Этап 2.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 (x - 3)$

Этап 2.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3$

Этап 2.3.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1.1

Умножим $- \ln (256) \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1.1.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + 3 \ln (256) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Этап 2.3.1.4.1.1.2

Упростим $3 \ln (256)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (256^{3}) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Этап 2.3.1.4.1.2

Возведем $256$ в степень $3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Этап 2.3.1.4.1.3

Умножим $6$ на $- 3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$

Этап 2.3.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$ .

$y - 1 = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 18$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 1 + 6 x - 18$

Этап 2.3.3

Вычтем $18$ из $1$ .

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 6 x - 17$

Этап 2.3.4

Перепишем уравнение в виде $- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$ .

$- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$

Этап 2.3.5

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$- y - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x$

Этап 2.3.5.2

Добавим $17$ к обеим частям уравнения.

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$

Этап 2.3.6

Разделим каждый член $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Разделим каждый член $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Этап 2.3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Этап 2.3.6.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Этап 2.3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x \ln (256)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Этап 2.3.6.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (x \ln (256))$ в виде $- (x \ln (256))$ .

$y = - (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Этап 2.3.6.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - x \ln (256) + \frac{\ln (16777216)}{1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Этап 2.3.6.3.1.4

Разделим $\ln (16777216)$ на $1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Этап 2.3.6.3.1.5

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 6 x}{- 1}$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - 1 \cdot (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

Этап 2.3.6.3.1.6

Перепишем $- 1 \cdot (- 6 x)$ в виде $- (- 6 x)$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

Этап 2.3.6.3.1.7

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x + \frac{17}{- 1}$

Этап 2.3.6.3.1.8

Разделим $17$ на $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 17$

Этап 2.3.7

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перенесем $\ln (16777216)$ .

$y = - x \ln (256) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

Этап 2.3.7.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (256)$ .

$y = x (- 1 \ln (256)) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

Этап 2.3.7.3

Вынесем множитель $x$ из $6 x$ .

$y = x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6 + \ln (16777216) - 17$

Этап 2.3.7.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6$ .

$y = x (- 1 \ln (256) + 6) + \ln (16777216) - 17$

Этап 2.3.7.5

Изменим порядок $x$ и $- 1 \ln (256) + 6$ .

$y = (- 1 \ln (256) + 6) x + \ln (16777216) - 17$

Этап 3