Математический анализ Примеры

${(\sqrt[6]{x})}^{3}$

Этап 1

Запишем ${(\sqrt[6]{x})}^{3}$ в виде функции.

$f (x) = {(\sqrt[6]{x})}^{3}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(\sqrt[6]{x})}^{3} d x$

Этап 4

Упростим путем сокращения экспоненты с радикалом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(\sqrt[6]{x})}^{3}$ в виде $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[6]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{6}}$ .

$\int {(x^{\frac{1}{6}})}^{3} d x$

Этап 4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} \cdot 3} d x$

Этап 4.1.3

Объединим $\frac{1}{6}$ и $3$ .

$\int x^{\frac{3}{6}} d x$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\int x^{\frac{3 (1)}{6}} d x$

Этап 4.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} d x$

Этап 4.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} d x$

Этап 4.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 4.1.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$\int \sqrt{x} d x$

Этап 4.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 6

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(\sqrt[6]{x})}^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$