Математический анализ Примеры

$\sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 1

Запишем $\sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$ в виде функции.

$f (x) = \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sec (x) (\tan (x) - \sec (x)) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x)) d x$

Этап 4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x) d x$

Этап 4.3

Умножим $- \sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x)) d x$

Этап 4.3.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) d x$

Этап 4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{1 + 1} d x$

Этап 4.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int - \sec^{2} (x) d x$

Этап 6

Поскольку производная $\sec (x)$ равна $\sec (x) \tan (x)$ , интеграл $\sec (x) \tan (x)$ равен $\sec (x)$ .

$\sec (x) + C + \int - \sec^{2} (x) d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\sec (x) + C - \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 8

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$\sec (x) + C - (\tan (x) + C)$

Этап 9

Упростим.

$\sec (x) - \tan (x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$ .

$F (x) =$ $\sec (x) - \tan (x) + C$