Математический анализ Примеры

$\sec (x) (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 1

Запишем $\sec (x) (\sec (x) + \tan (x))$ в виде функции.

$f (x) = \sec (x) (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 4.2

Умножим $\sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 4.2.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 4.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 4.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 6

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 7

Поскольку производная $\sec (x)$ равна $\sec (x) \tan (x)$ , интеграл $\sec (x) \tan (x)$ равен $\sec (x)$ .

$\tan (x) + C + \sec (x) + C$

Этап 8

Упростим.

$\tan (x) + \sec (x) + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sec (x) (\sec (x) + \tan (x))$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \sec (x) + C$