Математический анализ Примеры

${(2 x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(2 x^{2} - 1)}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(2 x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(2 x^{2} - 1)}^{2} d x$

Этап 4

Развернем ${(2 x^{2} - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(2 x^{2} - 1)}^{2}$ в виде $(2 x^{2} - 1) (2 x^{2} - 1)$ .

$\int (2 x^{2} - 1) (2 x^{2} - 1) d x$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 x^{2} (2 x^{2} - 1) - 1 (2 x^{2} - 1) d x$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 - 1 (2 x^{2} - 1) d x$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.5

Перенесем $x^{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.6

Перенесем $x^{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2} - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.7

Умножим $2$ на $2$ .

$\int 4 x^{2} x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 x^{2 + 2} + 2 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.9

Добавим $2$ и $2$ .

$\int 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int 4 x^{4} - 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.11

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\int 4 x^{4} - 2 x^{2} - 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Этап 4.12

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 4 x^{4} - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 1 d x$

Этап 4.13

Вычтем $2 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$\int 4 x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 x^{4} d x + \int - 4 x^{2} d x + \int d x$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{2} d x + \int d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 4 x^{2} d x + \int d x$

Этап 8

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 \int x^{2} d x + \int d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Этап 11.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

Этап 11.2

Упростим.

$\frac{4 x^{5}}{5} - \frac{4 x^{3}}{3} + x + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + x + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(2 x^{2} - 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + x + C$