Математический анализ Примеры

$x^{\frac{22}{7}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{22}{7}$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{22}{7} - 1}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{22}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}$

Этап 1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{22}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{22}{7} x^{\frac{22 - 1 \cdot 7}{7}}$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{22 - 7}{7}}$

Этап 1.5.2

Вычтем $7$ из $22$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{15}{7}}$

Этап 1.6

Объединим $\frac{22}{7}$ и $x^{\frac{15}{7}}$ .

$f' (x) = \frac{22 x^{\frac{15}{7}}}{7}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{22}{7}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{22 x^{\frac{15}{7}}}{7}$ по $x$ равна $\frac{22}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{15}{7}}]$ .

$\frac{22}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{15}{7}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{15}{7}$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15}{7} - 1})$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15 - 1 \cdot 7}{7}})$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15 - 7}{7}})$

Этап 2.6.2

Вычтем $7$ из $15$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{8}{7}})$

Этап 2.7

Объединим $\frac{15}{7}$ и $x^{\frac{8}{7}}$ .

$\frac{22}{7} \cdot \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7}$

Этап 2.8

Умножим $\frac{22}{7}$ на $\frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7}$ .

$\frac{22 (15 x^{\frac{8}{7}})}{7 \cdot 7}$

Этап 2.9

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $15$ на $22$ .

$\frac{330 x^{\frac{8}{7}}}{7 \cdot 7}$

Этап 2.9.2

Умножим $7$ на $7$ .

$f'' (x) = \frac{330 x^{\frac{8}{7}}}{49}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{330}{49}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{330 x^{\frac{8}{7}}}{49}$ по $x$ равна $\frac{330}{49} \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{7}}]$ .

$\frac{330}{49} \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{7}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{8}{7}$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8}{7} - 1})$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8 - 1 \cdot 7}{7}})$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8 - 7}{7}})$

Этап 3.6.2

Вычтем $7$ из $8$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{1}{7}})$

Этап 3.7

Объединим $\frac{8}{7}$ и $x^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{330}{49} \cdot \frac{8 x^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 3.8

Умножим $\frac{330}{49}$ на $\frac{8 x^{\frac{1}{7}}}{7}$ .

$\frac{330 (8 x^{\frac{1}{7}})}{49 \cdot 7}$

Этап 3.9

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $8$ на $330$ .

$\frac{2640 x^{\frac{1}{7}}}{49 \cdot 7}$

Этап 3.9.2

Умножим $49$ на $7$ .

$f''' (x) = \frac{2640 x^{\frac{1}{7}}}{343}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $\frac{2640}{343}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2640 x^{\frac{1}{7}}}{343}$ по $x$ равна $\frac{2640}{343} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$ .

$\frac{2640}{343} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{7}$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1})$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}})$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 7}{7}})$

Этап 4.6.2

Вычтем $7$ из $1$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{- 6}{7}})$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}})$

Этап 4.8

Объединим $\frac{1}{7}$ и $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$\frac{2640}{343} \cdot \frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}$

Этап 4.9

Умножим $\frac{2640}{343}$ на $\frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}$ .

$\frac{2640 x^{- \frac{6}{7}}}{343 \cdot 7}$

Этап 4.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Умножим $343$ на $7$ .

$\frac{2640 x^{- \frac{6}{7}}}{2401}$

Этап 4.10.2

Перенесем $x^{- \frac{6}{7}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{2640}{2401 x^{\frac{6}{7}}}$