Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x + 1)}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

Этап 1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

Этап 1.3

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Этап 3.7

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Этап 3.8

Производная $\log_{2} (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} (x \ln (2))$

Этап 5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1} \ln (2)$

Этап 5.2

Объединим $\frac{x}{x + 1}$ и $\ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (2)}{x + 1}$

Этап 6

Вынесем член $\ln (2)$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}$

Этап 7

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Сократим общий множитель.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Этап 8.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Этап 8.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$

Этап 8.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\ln (2) \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

Этап 8.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

Этап 8.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 8.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 9

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\ln (2) \frac{1}{1 + 0}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\ln (2) \frac{1}{1}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (2) \frac{1}{1}$

Этап 10.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (2) \cdot 1$

Этап 10.3

Умножим $\ln (2)$ на $1$ .

$\ln (2)$