Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (2 x)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Этап 1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Этап 1.2.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 x)}$

Этап 1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 x)}$

Этап 1.3.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x)}$

Этап 1.3.1.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (2 \frac{π}{2})}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{1 + \cos (2 \frac{π}{2})}$

Этап 1.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

Этап 1.3.3.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Этап 1.3.3.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (2 x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $1 - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Этап 3.4.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Этап 3.5

Вычтем $\cos (x)$ из $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $1 + \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Этап 3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (x)}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Этап 3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (x)}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 3.8.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (x)}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 3.8.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (x)}{0 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 3.8.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (x)}{0 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (x)}{0 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)}$

Этап 3.8.4

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (x)}{0 - \sin (2 x) \cdot 2}$

Этап 3.8.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (x)}{0 - 2 \sin (2 x)}$

Этап 3.9

Вычтем $2 \sin (2 x)$ из $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (x)}{- 2 \sin (2 x)}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 x)}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 x)}$

Этап 4.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 x)}$

Этап 4.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{- \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 x)}$

Этап 4.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{- 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 x)}$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 x)}$

Этап 4.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 x)}$

Этап 4.1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{- 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x)}$

Этап 4.1.3.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{- 2 \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Этап 4.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{0}{- 2 \sin (2 \frac{π}{2})}$

Этап 4.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{- 2 \sin (2 \frac{π}{2})}$

Этап 4.1.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{- 2 \sin (π)}$

Этап 4.1.3.3.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{0}{- 2 \sin (0)}$

Этап 4.1.3.3.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{- 2 \cdot 0}$

Этап 4.1.3.3.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.2

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (x)}{- 2 \sin (2 x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]}$

Этап 4.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]}$

Этап 4.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]}$

Этап 4.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]}$

Этап 4.3.5

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]}$

Этап 4.3.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (2 x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 4.3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{- 2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Этап 4.3.7.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{- 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Этап 4.3.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{- 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Этап 4.3.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{- 2 \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 4.3.9

Умножим $2$ на $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{- 4 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{- 4 \cos (2 x) \cdot 1}$

Этап 4.3.11

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{- 4 \cos (2 x)}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем член $\frac{1}{- 4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\cos (2 x)}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 x)}$

Этап 5.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 x)}$

Этап 5.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x)}$

Этап 5.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Этап 7.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Этап 7.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Этап 7.3.1.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

Этап 7.3.2

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- \cos (0)}$

Этап 7.3.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Этап 7.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- 1}$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$- \frac{1}{4} (- 1 \cdot 1)$

Этап 7.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

Этап 7.6

Умножим $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Этап 7.6.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4}$