Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + x)}{x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{3 x} + x)}{lim_{x \to \infty} x}$

Этап 1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Этап 1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = e^{3 x} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{3 x} + x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{3 x} + x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $e^{3 x} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.8

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(3 e^{3 x} + 1) \frac{1}{e^{3 x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.10.2

Умножим $3 e^{3 x} + 1$ на $\frac{1}{e^{3 x} + x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}}{1}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x} \cdot 1$

Этап 5

Умножим $\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$

Этап 6

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Этап 6.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Этап 6.1.2.2

Поскольку функция $e^{3 x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $3$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $3$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Этап 6.1.2.2.2

Поскольку показатель степени $3 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{3 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Этап 6.1.2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty + 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Этап 6.1.2.4

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Этап 6.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} x}$

Этап 6.1.3.2

Поскольку показатель степени $3 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{3 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} x}$

Этап 6.1.3.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

Этап 6.1.3.4

Сумма бесконечностей бесконечна.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 6.1.3.5

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 6.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Этап 6.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Этап 6.3.2

По правилу суммы производная $3 e^{3 x} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Этап 6.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{3 x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Этап 6.3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Этап 6.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Этап 6.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Этап 6.3.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Этап 6.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Этап 6.3.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Этап 6.3.3.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Этап 6.3.3.7

Умножим $3$ на $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Этап 6.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Этап 6.3.5

Добавим $9 e^{3 x}$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Этап 6.3.6

По правилу суммы производная $e^{3 x} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.7.1.2

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.7.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.7.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.7.4

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.7.5

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1}$

Этап 7

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1}$

Этап 8

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$9 \frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}$

Этап 8.1.2

Поскольку показатель степени $3 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{3 x}$ стремится к $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}$

Этап 8.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 8.1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $3$ .

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 8.1.3.2.2

Поскольку показатель степени $3 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{3 x}$ стремится к $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 8.1.3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{\infty + 1}$

Этап 8.1.3.4

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$9 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 8.1.3.5

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$9 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 8.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$9 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 8.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Этап 8.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Этап 8.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Этап 8.3.2.2

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Этап 8.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Этап 8.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Этап 8.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Этап 8.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Этап 8.3.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Этап 8.3.7

По правилу суммы производная $3 e^{3 x} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 8.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{3 x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 8.3.8.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 8.3.8.2.2

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 8.3.8.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 8.3.8.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 8.3.8.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 8.3.8.5

Умножим $3$ на $1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 8.3.8.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \cdot 3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 8.3.8.7

Умножим $3$ на $3$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 8.3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x} + 0}$

Этап 8.3.10

Добавим $9 e^{3 x}$ и $0$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$

Этап 8.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x})}{9 e^{3 x}}$

Этап 8.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x})}{3 \cdot 3 e^{3 x}}$

Этап 8.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \cdot 3 e^{3 x}}$

Этап 8.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x}}$

Этап 8.4.2

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Сократим общий множитель.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x}}$

Этап 8.4.2.2

Перепишем это выражение.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $\frac{1}{3}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$9 (\frac{1}{3})$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 (3) \frac{1}{3}$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 3 \frac{1}{3}$

Этап 9.2.3

Перепишем это выражение.

$3$