Математический анализ Примеры

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Этап 1

Запишем $\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 9$ и $g (x) = x^{2} - 81$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x + 9] - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4.2

Умножим $x^{2} - 81$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 81$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.7

Поскольку $- 81$ является константой относительно $x$ , производная $- 81$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x + 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 81 + (- 2 x - 2 \cdot 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.2

Умножим $- 2$ на $9$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 81 - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} - 18 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ , а сумма — $b = - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1.1

Вынесем множитель $- 18$ из $- 18 x$ .

$\frac{- x^{2} - 18 (x) - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.2

Запишем $- 18$ как $- 9$ плюс $- 9$

$\frac{- x^{2} + (- 9 - 9) x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} - 9 x - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{2} - 9 x) - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- x - 9) + 9 (- x - 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Этап 2.1.3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 9^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{((x + 9) (x - 9))}^{2}}$

Этап 2.1.3.6.3

Применим правило умножения к $(x + 9) (x - 9)$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(- (x) - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.2

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (9)) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.4

Перепишем $- (x + 9)$ в виде $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.5

Возведем $x + 9$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} (x + 9))}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.6

Возведем $x + 9$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} {(x + 9)}^{1})}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{1 + 1}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.8

Сократим общий множитель ${(x + 9)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.1.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ в виде ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 9$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 9$ .

$- (- 2 {(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 ({(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4.2

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.7.1

Умножим $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ на $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + 0$

Этап 2.2.4.7.2

Добавим $2 {(x - 9)}^{- 3}$ и $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3}$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 2.2.5.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 3.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба