Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 3.1.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 3.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.1.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Этап 3.1.2.4

Умножим $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , поскольку производная является непрерывной на $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ , дифференцируемое в области $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ , дифференцируемое в области $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 7.2.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Этап 7.2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{4})$

Этап 7.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 8

Решим $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (\frac{3 π}{2}) + f (\frac{π}{2}))}{- (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Этап 8.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим $2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1.1

Умножим $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 (\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}})$

Этап 8.2.2.1.1.2

Объединим.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})}$

Этап 8.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Этап 8.2.2.1.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Этап 8.2.2.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Этап 8.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Этап 8.2.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Этап 8.2.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Этап 8.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Этап 8.2.2.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 (- \frac{π}{2})}$

Этап 8.2.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

Этап 8.2.2.1.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

Этап 8.2.2.1.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π - π}$

Этап 8.2.2.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.4.1

Вычтем $\sqrt{2}$ из $\sqrt{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{3 π - π}$

Этап 8.2.2.1.4.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

Этап 8.2.2.1.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 (π)}$

Этап 8.2.2.1.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

Этап 8.2.2.1.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{π}$

Этап 8.2.2.1.4.4

Разделим $0$ на $π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Этап 8.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Этап 8.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 8.5

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = π$

Этап 8.6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 8.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 8.7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 8.7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 8.7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.2.1

Упростим $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 8.7.2.2.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 8.7.2.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 8.7.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 8.7.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Этап 8.7.2.2.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$x = 4 π - π$

Этап 8.7.2.2.1.6

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = 3 π$

Этап 8.8

Найдем период $\cos (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.8.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 8.8.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 8.8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 8.8.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 8.9

Период функции $\cos (\frac{x}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.10

Объединим ответы.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = \frac{π}{2}$ и $b = \frac{3 π}{2}$ , находится в точке $x = π + 2 π n$ .

Касательная в точке $x = π + 2 π n$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = \frac{π}{2}$ и $b = \frac{3 π}{2}$ .

Этап 10