Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{- 8} \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{- 8}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 8} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Этап 1.1.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Объединим $x^{- 8}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 8}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Этап 1.1.3.2

Перенесем $x^{- 8}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{8}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Этап 1.1.4

Умножим $x$ на $x^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Умножим $x$ на $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{8}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Этап 1.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x^{1 + 8}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Этап 1.1.4.2

Добавим $1$ и $8$ .

$\frac{1}{x^{9}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 8$ .

$\frac{1}{x^{9}} + \ln (x) (- 8 x^{- 9})$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Изменим порядок членов.

$- 8 x^{- 9} \ln (x) + \frac{1}{x^{9}}$

Этап 1.1.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{x^{9}} \ln (x) + \frac{1}{x^{9}}$

Этап 1.1.6.2.2

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{x^{9}}$ .

$\frac{- 8}{x^{9}} \ln (x) + \frac{1}{x^{9}}$

Этап 1.1.6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{x^{9}} \ln (x) + \frac{1}{x^{9}}$

Этап 1.1.6.2.4

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{8}{x^{9}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 8}{x^{9}} + \frac{1}{x^{9}}$

Этап 1.1.6.2.5

Перенесем $8$ влево от $\ln (x)$ .

$f' (x) = - \frac{8 \ln (x)}{x^{9}} + \frac{1}{x^{9}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{8 \ln (x)}{x^{9}} + \frac{1}{x^{9}}$ .

$- \frac{8 \ln (x)}{x^{9}} + \frac{1}{x^{9}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{8 \ln (x)}{x^{9}} + \frac{1}{x^{9}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{8 \ln (x)}{x^{9}} + \frac{1}{x^{9}} = 0$

Этап 2.2

Вычтем $\frac{1}{x^{9}}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{8 \ln (x)}{x^{9}} = - \frac{1}{x^{9}}$

Этап 2.3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$- 8 \ln (x) = - 1$

Этап 2.4

Разделим каждый член $- 8 \ln (x) = - 1$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $- 8 \ln (x) = - 1$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 \ln (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 \ln (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 8}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (x) = \frac{1}{8}$

Этап 2.5

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{8}}$

Этап 2.6

Перепишем $\ln (x) = \frac{1}{8}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{8}} = x$

Этап 2.7

Перепишем уравнение в виде $x = e^{\frac{1}{8}}$ .

$x = e^{\frac{1}{8}}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{8 \ln (x)}{x^{9}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{9} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[9]{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\sqrt[9]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{9}$ .

$x = \sqrt[9]{0^{9}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 3.3

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 3.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 4

Вычислим $x^{- 8} \ln (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = e^{\frac{1}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $e^{\frac{1}{8}}$ вместо $x$ .

${(e^{\frac{1}{8}})}^{- 8} \ln (e^{\frac{1}{8}})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{1}{8}})}^{- 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot - 8} \ln (e^{\frac{1}{8}})$

Этап 4.1.2.1.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot (8 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{8}})$

Этап 4.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{8}})$

Этап 4.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{8}})$

Этап 4.1.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{\frac{1}{8}})$

Этап 4.1.2.3

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $\frac{1}{8}$ из степени.

$\frac{1}{e} (\frac{1}{8} \ln (e))$

Этап 4.1.2.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{1}{e} (\frac{1}{8} \cdot 1)$

Этап 4.1.2.5

Умножим $\frac{1}{8}$ на $1$ .

$\frac{1}{e} \cdot \frac{1}{8}$

Этап 4.1.2.6

Умножим $\frac{1}{e}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{e \cdot 8}$

Этап 4.1.2.7

Перенесем $8$ влево от $e$ .

$\frac{1}{8 e}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{- 8} \ln (0)$

Этап 4.2.2

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(e^{\frac{1}{8}}, \frac{1}{8 e})$

Этап 5