Математический анализ Примеры

$(x^{2} + 12) (144 - x^{2})$

Этап 1

Запишем $(x^{2} + 12) (144 - x^{2})$ в виде функции.

$f (x) = (x^{2} + 12) (144 - x^{2})$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} + 12$ и $g (x) = 144 - x^{2}$ .

$(x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [144 - x^{2}] + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $144 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [144] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} [144] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $144$ является константой относительно $x$ , производная $144$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} + 12) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

Этап 2.1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

Этап 2.1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 12) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

Этап 2.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} + 12) (- (2 x)) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

Этап 2.1.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

Этап 2.1.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])$

Этап 2.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [12])$

Этап 2.1.2.9

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) (2 x + 0)$

Этап 2.1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) (2 x)$

Этап 2.1.2.10.2

Перенесем $2$ влево от $144 - x^{2}$ .

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + 2 \cdot (144 - x^{2}) x$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 (144 - x^{2}) x$

Этап 2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + (2 \cdot 144 + 2 (- x^{2})) x$

Этап 2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 2.1.3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.1.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 2.1.3.4.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 2.1.3.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 2.1.3.4.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 2.1.3.4.2

Перенесем $- 2$ влево от $x^{3}$ .

$- 2 \cdot x^{3} + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 2.1.3.4.3

Умножим $- 2$ на $12$ .

$- 2 x^{3} - 24 x + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 2.1.3.4.4

Умножим $2$ на $144$ .

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 2.1.3.4.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x - 2 x^{2} x$

Этап 2.1.3.4.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x - 2 (x^{1} x^{2})$

Этап 2.1.3.4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x - 2 x^{1 + 2}$

Этап 2.1.3.4.8

Добавим $1$ и $2$ .

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x - 2 x^{3}$

Этап 2.1.3.4.9

Добавим $- 24 x$ и $288 x$ .

$- 2 x^{3} + 264 x - 2 x^{3}$

Этап 2.1.3.4.10

Вычтем $2 x^{3}$ из $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 264 x$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 x^{3} + 264 x$ .

$- 4 x^{3} + 264 x$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 x^{3} + 264 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 264 x = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x^{3} + 264 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 264 x = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $- 4 x$ из $264 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 66 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 66)$ .

$- 4 x (x^{2} - 66) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 66 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x^{2} - 66$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x^{2} - 66$ к $0$ .

$x^{2} - 66 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $x^{2} - 66 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $66$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 66$

Этап 3.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{66}$

Этап 3.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{66}$

Этап 3.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{66}$

Этап 3.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{66}, - \sqrt{66}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 x (x^{2} - 66) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{66}, - \sqrt{66}$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, \sqrt{66}, - \sqrt{66}$ .

$0, \sqrt{66}, - \sqrt{66}$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \sqrt{66}) \cup (- \sqrt{66}, 0) \cup (0, \sqrt{66}) \cup (\sqrt{66}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \sqrt{66})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 9.124039$ .

$f' (- 9.124039) = - 4 {(- 9.124039)}^{3} + 264 (- 9.124039)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 9.124039$ в степень $3$ .

$f' (- 9.124039) = - 4 \cdot - 759.5587986 + 264 (- 9.124039)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 4$ на $- 759.5587986$ .

$f' (- 9.124039) = 3038.23519443 + 264 (- 9.124039)$

Этап 6.2.1.3

Умножим $264$ на $- 9.124039$ .

$f' (- 9.124039) = 3038.23519443 - 2408.746296$

Этап 6.2.2

Вычтем $2408.746296$ из $3038.23519443$ .

$f' (- 9.124039) = 629.48889843$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $629.48889843$ .

$629.48889843$

Этап 6.3

При $x = - 9.124039$ производная имеет вид $629.48889843$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - \sqrt{66})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \sqrt{66})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 8.124039, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4.0620195$ .

$f' (- 4.0620195) = - 4 {(- 4.0620195)}^{3} + 264 (- 4.0620195)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 4.0620195$ в степень $3$ .

$f' (- 4.0620195) = - 4 \cdot - 67.02333157 + 264 (- 4.0620195)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 4$ на $- 67.02333157$ .

$f' (- 4.0620195) = 268.09332629 + 264 (- 4.0620195)$

Этап 7.2.1.3

Умножим $264$ на $- 4.0620195$ .

$f' (- 4.0620195) = 268.09332629 - 1072.373148$

Этап 7.2.2

Вычтем $1072.373148$ из $268.09332629$ .

$f' (- 4.0620195) = - 804.2798217$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 804.2798217$ .

$- 804.2798217$

Этап 7.3

При $x = - 4.0620195$ производная имеет вид $- 804.2798217$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 8.124039, 0)$ .

Убывание на $(- \sqrt{66}, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \sqrt{66})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.0620195$ .

$f' (4.0620195) = - 4 {(4.0620195)}^{3} + 264 (4.0620195)$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $4.0620195$ в степень $3$ .

$f' (4.0620195) = - 4 \cdot 67.02333157 + 264 (4.0620195)$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 4$ на $67.02333157$ .

$f' (4.0620195) = - 268.09332629 + 264 (4.0620195)$

Этап 8.2.1.3

Умножим $264$ на $4.0620195$ .

$f' (4.0620195) = - 268.09332629 + 1072.373148$

Этап 8.2.2

Добавим $- 268.09332629$ и $1072.373148$ .

$f' (4.0620195) = 804.2798217$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $804.2798217$ .

$804.2798217$

Этап 8.3

При $x = 4.0620195$ производная имеет вид $804.2798217$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \sqrt{66})$ .

Возрастание в области $(0, \sqrt{66})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(\sqrt{66}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9.124039$ .

$f' (9.124039) = - 4 {(9.124039)}^{3} + 264 (9.124039)$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $9.124039$ в степень $3$ .

$f' (9.124039) = - 4 \cdot 759.5587986 + 264 (9.124039)$

Этап 9.2.1.2

Умножим $- 4$ на $759.5587986$ .

$f' (9.124039) = - 3038.23519443 + 264 (9.124039)$

Этап 9.2.1.3

Умножим $264$ на $9.124039$ .

$f' (9.124039) = - 3038.23519443 + 2408.746296$

Этап 9.2.2

Добавим $- 3038.23519443$ и $2408.746296$ .

$f' (9.124039) = - 629.48889843$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $- 629.48889843$ .

$- 629.48889843$

Этап 9.3

При $x = 9.124039$ производная имеет вид $- 629.48889843$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\sqrt{66}, \infty)$ .

Убывание на $(\sqrt{66}, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - \sqrt{66}), (0, \sqrt{66})$

Убывание на: $(- \sqrt{66}, 0), (\sqrt{66}, \infty)$

Этап 11